Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

170 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN.
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Algoritmo 9.5: Miller-Rabin
Datos: n ≥ 3 y un parámetro de seguridad t ≥ 1.
Salida: “n es primo” o “n es compuesto”.
Calcule r y s tal que n − 1 = 2sr, r impar;
for i = 1,2,...,t do
a =Random(2,n − 2);
y = ar (mod n);
if y �= 1 y y �= n − 1 then
j = 1;
while j ≤ s − 1 y y �= n − 1 do
y = y2 (mod n);
if y = 1 then
return “Compuesto”;
j = j + 1;
if y �= n − 1 then
return “Compuesto”;
return “Primo”;
compuesto. Esto es así pues si x 2 ≡ y 2 (mod n) pero si x ≡/ ± y (mod n), entonces MCD(x − y,n)
es un factor no trivial de n. En la línea 12, si y �= n − 1, entonces a es un testigo fuerte de n.
Si el algoritmo 9.5 declara compuesto a n entonces n es definitivamente compuesto, por el
teorema 9.3. Si n es primo, es declarado primo. Si n es compuesto, la probabilidad de que el
algoritmo lo declare primo es inferior a 1/4 t .
El algoritmo 9.5 requiere, para n − 1 = 2 j r con r impar, t(2 + j)lnn pasos. t es el número de
bases.
Una estrategia que se usa a veces es fijar las bases. Se toman como base algunos de los primeros
primos en vez de tomarlas de manera aleatoria. El resultado importante aquí es este: Si p1, p2,..., pt
son los primeros t primos y si ψt es el más pequeño entero compuesto el cual es seudoprimo
para todas las bases p1, p2,..., pt, entonces el algoritmo de Miller-Rabin, con las bases p1, p2,..., pt,
siempre responde de manera correcta si n < ψt. Para 1 ≤ t ≤ 8 tenemos
t ψt
1 2047
2 1373653
3 25326001
4 3215031751
5 2152302898747
6 3474749660383
7 341550071728321
8 341550071728321