Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

190 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS
d = as + bt =⇒ md = (ma)s + (mb)t =⇒ d m |md.
md|d m ∧ d m |md =⇒ |d m | = |md| =⇒ d m = |m|d, por ser d m y d positivos.
2.40 d|(2(a + 2b) − (2a + b)), i.e. d|3b.
d|(2(2a + b) − (a + 2b)), i.e. d|3a
Luego d|mcd(3a,3b) =⇒ d|3mcd(a,b) =⇒ d|3 por ejercicio(2.39). Luego, d = 1 o d = 3.
2.41 Asuma que A es entero. Sea 2 α la más grande potencia de 2 que es ≤ n, i.e. 2 α ≤ n pero
2 α · 2 > n.
Considere todas las máximas potencias p β i
i , de los primos impares p i, que no exceden n, es decir,
p βi i ≤ n pero pβ i+1
i
Consideremos el producto
2 α−1 �
P 1 + 1 1
+
2 3
> n. Sea P es producto de todas estas potencias, P = ∏ i
�
1
+ ... +
n
= 2 α−1 P + 2α−1P 2 + 2α−1P 3 + ... + 2α−1P 2α Analizamos ahora cada fracción 2α−1P . Si k tiene factorización prima k = 2
k
δ ∏
i
2α−1P k =
⎧
2
⎪⎨
⎪⎩
α−1P 2δ ∏i q δi i
2 α−1 P
2 α
p β i
i .
+ ... + 2α−1P .
n
Por definición de P, los qi aparecen en P pero con una potencia igual o mayor, es decir, para
cada i hay un j tal que qi = pj y δi ≤ βj. Luego, como δ ≤ α − 1, entonces 2α−1P es entero.
2δ ∏i q δi i
Pero, por otra parte, el caso 2α−1P/2α = P/2 = m + 1/2 con m entero, por ser P impar. Resumiendo,
2 α−1 PA = 2 α−1 �
P 1 + 1 1
+
2 3
�
1
+ ... +
n
= 2 α−1 P + 2α−1P 2 + 2α−1P 3 + ... + 2α−1P 2α + ...2α−1 P
n
= Q + P/2 = Q ′ + 1/2, con Q, Q ′ enteros.
Pero si A es entero,2 α−1 PA es entero, mientras que Q ′ + 1/2 no (⇒⇐).
q δ i
i ,