Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

112 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS
ral, tomado al azar, sea divisible por 5 es 1/5?. Por ahora, lo único que podemos decir es que
este experimento sugiere que la densidad (o la proporción) de los múltiplos de 5 en {1,2,...,n}
parece ser 1/5 conforme n se hace grande. Generalizando,
Definición 7.2 Sea E un conjunto de enteros positivos con alguna propiedad especial y sea
E(N) = E � {1,2,..., N}. La densidad (o medida relativa) de E se define como
siempre y cuando este límite exista.
E(n)
D[E] = lim
n→∞ n
¿Es esta densidad una medida de probabilidad en el modelo axiomático?. No, porque resulta no
ser aditiva, como el modelo exige (ver [10]). Aunque en el esquema frecuentista se puede ver la
densidad como la “probabilidad” de que un entero positivo, escogido aleatoriamente, pertenezca
a E, aquí identificamos este término con densidad o proporción. Tenemos,
Teorema 7.4 La densidad de los naturales divisibles por p es 1
p , es decir, si Ep es el conjunto de enteros
positivos divisibles por p, entonces
Ep(n) 1
D[Ep] = lim =
n→∞ n p
Prueba: Para calcular el límite necesitamos una expresión analítica para Ep(n). Como existen
p, r tales que n = pk + r con 0 ≤ r < p, entonces kp ≤ n < (k + 1) p, es decir, hay exactamente
n − r
k múltiplos positivos de p que son menores o iguales a n. Luego Ep(n) = k = . Por lo
p
Ep(n) (n − r)/p 1 r 1
tanto, D[Ep] = lim = lim = lim − =
n→∞ n n→∞ n n→∞ p pn p
Un hecho de gran importancia es este: Si p,q son primos, ser divisible por p y por q son eventos
�
técnicamente independientes, es decir, D[Ep Eq] = D[Ep]D[Eq]. Una de sus consecuencias (no
tan inmediata) es que los divisores primos de n se distribuyen de acuerdo a la ley normal (ver
[10]).
7.3 Orden de Magnitud
Necesitamos un mecanismo flexible para comparar funciones. Esto es necesario, porque a menudo
nos interesa reemplazar funciones complicadas con otras más simples. En la parte práctica, esto
nos permite establecer términos de error en una estimación, de una manera más flexible.
Para comparar dos funciones f y g, es conveniente primero definir la relación “≪” (se lee
“dominada por”): Decimos que
f (x) ≪ g(x) conforme x → ∞