Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

2.1 Algoritmo de la división
Si la división no es exacta, no todo está perdido: Como hacíamos en la escuela, la división de a
por b la podemos expresar como un cociente y un resto. Por ejemplo, la división de 23 por 3 es
7 y queda un resto r = 2. Es decir, 23 = 7 · 3 + 2. Gráficamente,
r = 2
7 · 3 23 (7 + 1) · 3
Teorema 2.2 (Algoritmo de la división) Sean a,b ∈ Z con b �= 0. Existen q, r ∈ Z únicos tales que
Gráficamente,
a = bq + r con 0 ≤ r < |b|.
r
qb a (q + 1)b
Prueba: Vamos a demostrar el teorema para a,b ∈ Z con b > 0. Con esto, el teorema sería
también válido para el caso b < 0, ya que tendríamos que existen q, r ∈ Z únicos tales que
a = |b|q + r con 0 ≤ r < |b| con lo que a = b · (−q) + r con 0 ≤ r < |b|.
Consideremos la progresión aritmética
existe q ∈ Z tal que
...,−3b,−2b,−b,0,b,2b,3b,...
qb ≤ a < (q + 1)b
Sea r = a − qb, entonces a = bq + r. De qb ≤ a obtenemos 0 ≤ r y de a < (q + 1)b =⇒ a − qb < b.
∴ a = bq + r con 0 ≤ r < b
Unicidad: Supongamos que existe q1, r1 ∈ Z tal que
a = bq1 + r1 con 0 ≤ r1 < b y a = bq + r con 0 ≤ r < b
Entonces b(q1 − q) = r − r1 =⇒ b|(r − r1)
Ahora supongamos que r �= r1 y que r < r1. En este caso
0 < r − r1 < r < b =⇒ b ∤ (r − r1) : Contradicción (ejemplo )
Por lo tanto, r = r1. De aquí: b(q1 − q) = r − r1 = 0 =⇒ q1 = q
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Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F.
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