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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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235711 2 131719 232931

235711 2 131719 232931 235711 DIVISIBILIDAD Definición 2.1 Sean a,b enteros con b �= 0. Decimos que b divide a a si existe un entero c tal que a = bc. Si b divide a a escribimos b|a Teorema 2.1 Sean a,b,d, p,q ∈ Z. 1. Si d|a y d|b entonces d|(ax + by) para cualquier x,y ∈ Z 2. Si d|(p + q) y d|p =⇒ d|q. 3. Si a,b ∈ Z + y b|a =⇒ a ≥ b 4. Si a|b, entonces a|mb, con m ∈ Z. 5. Si a,b ∈ Z, a|b y b|a =⇒ |a| = |b| Prueba: 1. Sea a = nd y b = md, entonces ax + by = (nx + my)d =⇒ d|(ax + by) 2. Sea p = kd y p + q = k ′ d, entonces q = d(k ′ − k) =⇒ d|q 3. Sea a = kb, como k ≥ 1 =⇒ bk ≥ b. 4. Sea b = ka =⇒ mb = mka = (mk)a =⇒ a|mb 5. El item (3) solo aplica si a y b son positivos. Usando el item (4), si a|b y b|a entonces, |a|||b| y |b|||a|, luego: |a| ≤ |b| y |b| ≤ |a|. ∴ |a| = |b| EJEMPLO 2.1 5| − 5 y −5|5. ∴ |5| = | − 5| EJEMPLO 2.2 Sean a,b,d ∈ Z. Muestre que si a|d y d|b entonces a|b Solución: Si a|d ∧ d|b =⇒ d = k1a ∧ b = k2d, k1,k2 ∈ Z. Luego b = k2d = k2(k1a) =⇒ a|b

2.1 Algoritmo de la división Si la división no es exacta, no todo está perdido: Como hacíamos en la escuela, la división de a por b la podemos expresar como un cociente y un resto. Por ejemplo, la división de 23 por 3 es 7 y queda un resto r = 2. Es decir, 23 = 7 · 3 + 2. Gráficamente, r = 2 7 · 3 23 (7 + 1) · 3 Teorema 2.2 (Algoritmo de la división) Sean a,b ∈ Z con b �= 0. Existen q, r ∈ Z únicos tales que Gráficamente, a = bq + r con 0 ≤ r < |b|. r qb a (q + 1)b Prueba: Vamos a demostrar el teorema para a,b ∈ Z con b > 0. Con esto, el teorema sería también válido para el caso b < 0, ya que tendríamos que existen q, r ∈ Z únicos tales que a = |b|q + r con 0 ≤ r < |b| con lo que a = b · (−q) + r con 0 ≤ r < |b|. Consideremos la progresión aritmética existe q ∈ Z tal que ...,−3b,−2b,−b,0,b,2b,3b,... qb ≤ a < (q + 1)b Sea r = a − qb, entonces a = bq + r. De qb ≤ a obtenemos 0 ≤ r y de a < (q + 1)b =⇒ a − qb < b. ∴ a = bq + r con 0 ≤ r < b Unicidad: Supongamos que existe q1, r1 ∈ Z tal que a = bq1 + r1 con 0 ≤ r1 < b y a = bq + r con 0 ≤ r < b Entonces b(q1 − q) = r − r1 =⇒ b|(r − r1) Ahora supongamos que r �= r1 y que r < r1. En este caso 0 < r − r1 < r < b =⇒ b ∤ (r − r1) : Contradicción (ejemplo ) Por lo tanto, r = r1. De aquí: b(q1 − q) = r − r1 = 0 =⇒ q1 = q 11 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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