Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

162 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN.
En el método de factorización por ensayo y error, en su versión más cruda, probamos con todos
los números entre 2 y √ N para hallar un factor de N. Si no lo hallamos, N es primo.
En vez de hacer estos ≈ √ N pasos (en el peor caso), vamos a escoger una lista aleatoria de
números, más pequeña que √ N, y probar con ellos.
A menudo se construyen sucesiones seudo-aleatorias x0, x1, x2,... usando una iteración de la forma
x i+1 = f (x i) (mod N), con x0 = random(0, N − 1). Entonces {x0, x1,...} ⊆ ZN. Por lo tanto los
x i’s se empiezan a repetir en algún momento.
La idea es esta: Supongamos que ya calculamos la sucesión x0, x1, x2,... y que es “suficientemente
aleatoria”. Si p es un factor primo de N y si
� xi ≡ x j (mod p)
x i ≡/ x j (mod N)
entonces, como x i − x j = kp, resulta que MCD(x i − x j, N) es un factor no trivial de N.
Claro, no conocemos p, pero conocemos los x i’s, así que podemos revelar la existencia de p con
el cálculo del MCD: En la práctica se requiere comparar, de manera eficiente, los x i con los x j
hasta revelar la presencia del factor p vía el cálculo del MCD(x i − x j, N).
⎧
⎨
⎩
x i ≡ x j (mod p)
x i ≡/ x j (mod N)
=⇒ mcd(x i − x j, N) es factor no trivial de N
Si x0, x1, x2,... es “suficientemente aleatoria”, hay una probabilidad muy alta de que encontremos
pronto una “repetición” del tipo x i ≡ x j (mod p) antes de que esta repetición ocurra (mod N).
Antes de entrar en los detalles del algoritmo y su eficiencia, veamos un ejemplo.
Ejemplo 9.3 Sea N = 1387. Para crear una sucesión “seudoaleatoria” usamos f (x) = x 2 − 1 y x1 = 2.
Luego,
es decir,
x0 = 2
xi+1 = x 2 i − 1 (mod N)