Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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110 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS Así, por ejemplo µ(2 · 3 · 13) = (−1) 3 = −1 mientras que µ(2 · 3 2 · 13) = 0. La función de Möbius es importante porque f = g ∗ u ⇔ g = f ∗ µ. Esta es una fórmula muy útil y se le llama fórmula de inversión de Möbius. � 1 si n = 1, Lema 7.3 µ ∗ u = e, es decir,∑µ(d) = 0 si n > 1. d|n Prueba: Si n = 1, ∑d|1 µ(d) = µ(1) = 1. Para probar el caso n > 1, empecemos con un ejemplo: Si n = 3 · 53 · 7, los divisores de n que contribuyen con un sumando no nulo se pueden escribir en pares, 3, 3 · 7, 3 · 5, 3 · 5 · 7, 5, 5 · 7. Los divisores se dividen en dos grupos de igual cardinalidad, los que son divisibles por 7 y los que no. Si d es divisor del primer grupo, d · 7 es divisor del segundo grupo. Observemos que µ(d) = −µ(d · 7), por tanto la suma cancela: µ(d) = µ(3) + µ(3 · 7) + ... = −1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 = 0. Formalmente, ∑d|n Si n > 1 tiene factorización prima n = p k1 1 · pk2 2 · · · pks s ; los únicos divisores d de n que contribuyen con un sumando no nulo, son los divisores que son productos de primos distintos. Estos divisores d se pueden dividir en dos grupos de igual tamaño; D1 = {d : ps|d} y D2 = {d : ps ∤ d}, es decir, los productos que no tienen a ps y estos mismos agregando ps : d ∈ D1 ⇔ dps ∈ D2. Ahora, como µ(d) = −µ(dps), entonces hay tantos divisores que contribuyen con −1 a la suma como divisores que contribuyen con 1, como se quería mostrar. Teorema 7.3 (Fórmula de Inversión) Sean f y g son funciones aritméticas, entonces e inversamente. Si f (n) = ∑ g(d), entonces g(n) = ∑ f (d)µ(n/d) d|n d|n Prueba: Usando la notación de convolución, hay que probar que f = g ∗ u ⇔ g = f ∗ µ. “⇒”: f = g ∗ u =⇒ f ∗ µ = (g ∗ u) ∗ µ = g ∗ (u ∗ µ) = g ∗ (µ ∗ u) = g ∗ e = g. “⇐”: Ejercicio. EJEMPLO 7.3 Muestre que ∑σ(d)µ(n/d) = n para toda n ∈ Z d|n + . Solución: Como σ = N ∗ u, entonces por inversión de Möbius, N = σ ∗ µ, que es lo que se quería. 7.2 A los números primos les gustan los juegos de azar.
La probabilidad de que un número natural, tomado al azar, sea divisible por p es 1/p ¿Qué significa “tomar un número natural al azar”?. Los naturales son un conjunto infinito, así que no tiene sentido decir que vamos a tomar un número al azar. Lo que si podemos es tomar un número de manera aleatoria en un conjunto finito {1,2,...,n} y luego (atendiendo al modelo frecuentista de probabilidad) ver que pasa si n se hace grande (i.e. n −→ ∞). Hagamos un pequeño experimento: Fijamos un número p y seleccionamos de manera aleatoria un número en el conjunto {1,2,...,n} y verificamos si es divisible por p. El experimento lo repetimos m veces y calculamos la frecuencia relativa. En la tabla que sigue, hacemos este experimento varias veces para n,m y p. Y efectivamente, n m p Frecuencia relativa 100000 10000 5 0.1944 0.2083 0.2053 0.1993 10000000 100000 5 0.20093 0.19946 0.1997 0.20089 100000000 1000000 5 0.199574 Tabla 7.2 0.199647 parece que “la probabilidad” de que un número tomado al azar en el conjunto {1,2,...,n} sea divisible por p es 1/p De una manera sintética: Sea Ep(n) = los múltiplos de p en el conjunto {1,2,...,n}. Podemos calcular la la proporción de estos múltiplos en este conjunto, es decir, podemos calcular Ep(n) n para varios valores de n n Múltiplos de p = 5 Proporción 100 20 0.2 10230 2046 0.2 100009 20001 0.199992 1000000 199999 0.199999 Tabla 7.3 Parece que en el conjunto {1,2,...,n}, la proporción de los múltiplos de p = 5 se aproxima a 1/5, conforme n se hace grande. ¿Significa esto que la probabilidad de que un número natu- 111
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