Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

mcd y mcm
EJERCICIOS 33
Definición 2.4 Si a,b ∈ Z + entonces el mínimo común múltiplo de a y b es el más pequeño entero
m > 0 tal que a|m y b|m. Se escribe mcm(a,b) = m
Teorema 2.14 Si a,b son enteros positivos, supongamos que
a =
b =
k
∏
i=1
k
∏
i=1
p α i
i , α i ≥ 0
p β i
i , β i ≥ 0
Es decir, solo por conveniencia, igualamos el número de factores con 1’s si es necesario. Entonces,
mcd(a,b) =
mcm(a,b) =
k
∏
i=1
k
∏
i=1
En particular mcd(a,b) mcm(a,b) = ab, es decir
Prueba: Ejercicio.
mcm(a,b) =
p γ i
i , γ i = mín{α i, β i}
p δ i
i , δ i = máx{α i, β i}
ab
mcd(a,b) .
Aunque para números pequeños, el método de la factorización prima sirve para calcular mcd(n,m)
y el mcm(n,m), en general, es computacionalmente ineficiente, por el costo de obtener esta factorización.
Un algoritmo más adecuado está basado en el teorema (2.8).
EJEMPLO 2.26
A partir de la factorización prima de dos números n,m podemos calcular el mcd(n,m) y
el mcm(n,m).
36
18 2
9 2
3 3
36 = 2 2 · 3 2 · 7 0
1 3
1 7
Luego, mcd(36,84) = 22 · 3 · 70 = 12 y el mcm(36,84) = 22 · 32 · 7 = 252.
84
42 2
21 2
7 3
84 = 2 2 · 3 · 7