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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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32 DIVISIBILIDAD EJEMPLO

32 DIVISIBILIDAD EJEMPLO 2.25 Podemos factorizar 36 como un producto de primos: en cada paso buscamos el divisor primo más pequeño: 36 = 2 · 18 = 2 · 2 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 El método que usamos es el procedimiento usual de la escuela. Obtener la factorización prima de un número n dividiendo por los primos ≤ n 36 18 2 9 2 3 3 1 3 36 = 2 2 · 3 2 84 42 2 21 2 7 3 1 7 84 = 2 2 · 3 · 7 Teorema 2.13 (Fundamental de la aritmética) Todo número natural n > 1 se puede factorizar de manera única como n = p β 1 1 pβ2 2 · · · pβ k k donde p1,..., pn son primos distintos y β1,..., βn son enteros positivos. Esta factorización se llama la factorización prima de n. Prueba: La prueba se hace por inducción completa. El resultado es cierto para n = 2. Supongamos ahora que el resultado es cierto para n = 3,4,...,k. Hay que probar que es cierto para k + 1. Si k + 1 es primo, listo. Si k + 1 es compuesto, entonces existen a,b ∈ Z, 1 < a ≤ b < k + 1, tal que k + 1 = ab. Pero, por hipótesis de inducción a y b factorizan como producto de primos, así que k + 1 también factoriza como producto de primos, a saber, los factores de a y b. Unicidad: La prueba es por contradicción. Supongamos que n = r1r2 · · · ru = q1q2 · · · qv donde todos los r ′ i s y los q′ j s son primos, r1 ≤ r2 ≤ ... ≤ ru y q1 ≤ q2 ≤ ... ≤ qv . Si cancelamos los primos iguales que hay en ambos lados y nos queda r i1 r i2 · · · r in = q j 1 q j2 · · · q im , con n y m positivos, entonces ri1 debe dividir a algún qjt , es decir, ri = q 1 jt : Contradicción pues los asumimos distintos. Nota: Observe que el número 1 no es ni primo ni compuesto. Esto garantiza la unicidad de la factorización.

mcd y mcm EJERCICIOS 33 Definición 2.4 Si a,b ∈ Z + entonces el mínimo común múltiplo de a y b es el más pequeño entero m > 0 tal que a|m y b|m. Se escribe mcm(a,b) = m Teorema 2.14 Si a,b son enteros positivos, supongamos que a = b = k ∏ i=1 k ∏ i=1 p α i i , α i ≥ 0 p β i i , β i ≥ 0 Es decir, solo por conveniencia, igualamos el número de factores con 1’s si es necesario. Entonces, mcd(a,b) = mcm(a,b) = k ∏ i=1 k ∏ i=1 En particular mcd(a,b) mcm(a,b) = ab, es decir Prueba: Ejercicio. mcm(a,b) = p γ i i , γ i = mín{α i, β i} p δ i i , δ i = máx{α i, β i} ab mcd(a,b) . Aunque para números pequeños, el método de la factorización prima sirve para calcular mcd(n,m) y el mcm(n,m), en general, es computacionalmente ineficiente, por el costo de obtener esta factorización. Un algoritmo más adecuado está basado en el teorema (2.8). EJEMPLO 2.26 A partir de la factorización prima de dos números n,m podemos calcular el mcd(n,m) y el mcm(n,m). 36 18 2 9 2 3 3 36 = 2 2 · 3 2 · 7 0 1 3 1 7 Luego, mcd(36,84) = 22 · 3 · 70 = 12 y el mcm(36,84) = 22 · 32 · 7 = 252. 84 42 2 21 2 7 3 84 = 2 2 · 3 · 7

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