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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

68 POTENCIAS mod m

68 POTENCIAS mod m Prueba: Como R = {a · r j mod m : j = 1,..., ϕ(m)} ⊆ {r 1 ,r 2 ,...,r ϕ(m) }, solo hay que demostrar que R tiene ϕ(m) elementos distintos y todos primos relativos con m. Así, estos ϕ(m) números son inferiores a m y coprimos con m, entonces constituyen una permutación de r 1 ,r 2 ,...,r ϕ(m) . Sea i �= j con i, j ∈ {1,..., ϕ(m)}. Si a · r i ≡ a · r j (mod m) entonces, como mcd(a,m) = 1, r i ≡ r j (mod m), pero esto no puede pasar pues m > |r i − r j |. Si mcd(a · r i ,m) > 1 entonces sea p un divisor primo de a · r i y de m. Si p|a · r i , entonces p|r i o p|a. Pero esto no puede pasar pues si p|r i , como p|m entonces contradice el hecho de que mcd(r i ,m = 1). Por otra parte p|a contradice el hecho de que mcd(a,m = 1). De nuevo, vamos a dar un ejemplo antes de enunciar el teorema de Euler. EJEMPLO 4.16 ϕ(12) = 4 cuenta los primos relativos con 12 que son inferiores a 12, es decir 1,5,7,11. Ahora, mcd(12,35) = 1 y 35 · 1 ≡ 11 (mod 12), 35 · 5 ≡ 7 (mod 12), 35 · 7 ≡ 5 (mod 12) y 35 · 11 ≡ 1 (mod 12). Luego, 35 4 (1 · 5 · 7 · 11) ≡ (35 · 1)(35 · 5)(35 · 7)(35 · 11) (mod 12) pues mcd(11 · 7 · 5 · 1, 12) = 1. ≡ (11 · 7 · 5 · 1) (mod 12) ∴ 35 4 ≡ 1 (mod 12) Teorema 4.10 (Teorema de Euler) Sea m entero positivo y mcd(a,m) = 1, entonces a ϕ(m) ≡ 1 (mod m) Prueba: Sea r 1 ,r 2 ,...,r ϕ(m) ϕ(m) enteros positivos ≤ m y primos relativos con m. Entonces, por el lema (4.3), a ϕ(m) (r 1 · r 2 · · · r ϕ(m) ) ≡ (a · r 1 )(a · r 2 ) · · · (a · r ϕ(m) ) (mod m) ≡ (r 1 · r 2 · · · · r ϕ(m) ) (mod m) ∴ a ϕ(m) ≡ 1 (mod m)

pues mcd(r 1 · r 2 · · · · r ϕ(m) , m) = 1. EJEMPLO 4.17 El conjunto de unidades de Zm se denota (Z/mZ) ∗ . A este conjunto es un ejemplo de un “sistema reducido de residuos.” Es claro entonces que |(Z/mZ) ∗ | = ϕ(m) y, en particular, |(Z/mZ) ∗ | = m − 1 si y solo si m es primo. 4.3.1 El recíproco del Teorema pequeño de Fermat Si p es primo, ϕ(p) = p − 1 y si p no es primo ϕ(p) < p − 1. Entonces si n − 1 es el más pequeño entero positivo tal que a n−1 ≡ 1 (mod n), n debería ser primo. Teorema 4.11 Si existe un entero a tal que a n−1 ≡ 1 (mod n) y si a s �≡ 1 (mod n), para todo s < n − 1, entonces n es primo. Prueba: Si n no fuera primo, ϕ(n) < n − 1, pero a ϕ(n) ≡ 1 (mod n), contradicción. Una versión refinada es Teorema 4.12 Si a y n son enteros tales que a n−1 ≡ 1 (mod n) y a (n−1)/q �≡ 1 (mod n) para todos los divisores primos q de n − 1, entonces n es primo. Prueba: Como los divisores propios de n − 1 dividen (n − 1)/q para algún primo q, entonces Ordm(a) no divide al entero (n − 1)/q, según la hipótesis del teorema. Por tanto, la única posibilidad es que Ordm(a) = n − 1. Así, (Z/nZ) ∗ tiene n − 1 elementos, entonces n debe ser primo. Con este teorema podríamos decidir si n es primo si conocemos la factorización de n − 1. EJEMPLO 4.18 Usar el teorema (4.12) para probar que n = 229 es primo. Solución: n − 1 = 2 2 · 3 · 19. Para probar que n es primo debemos encontrar 2 ≤ a ≤ 228 tal que a 228 ≡ 1 (mod 229) y a (228)/q �≡ 1 (mod 229) para q = 2,3,19. Ahora hacemos una búsqueda exhaustiva: ∴ n = 229 cumple las condiciones del teorema (4.12) para a = 6. Por tanto, n = 229 es primo. 69

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