Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

pues mcd(r 1 · r 2 · · · · r ϕ(m) , m) = 1.
EJEMPLO 4.17
El conjunto de unidades de Zm se denota (Z/mZ) ∗ . A este conjunto es un ejemplo de un
“sistema reducido de residuos.”
Es claro entonces que |(Z/mZ) ∗ | = ϕ(m) y, en particular, |(Z/mZ) ∗ | = m − 1 si y solo si
m es primo.
4.3.1 El recíproco del Teorema pequeño de Fermat
Si p es primo, ϕ(p) = p − 1 y si p no es primo ϕ(p) < p − 1. Entonces si n − 1 es el más
pequeño entero positivo tal que a n−1 ≡ 1 (mod n), n debería ser primo.
Teorema 4.11 Si existe un entero a tal que a n−1 ≡ 1 (mod n) y si a s �≡ 1 (mod n), para todo s < n − 1,
entonces n es primo.
Prueba: Si n no fuera primo, ϕ(n) < n − 1, pero a ϕ(n) ≡ 1 (mod n), contradicción.
Una versión refinada es
Teorema 4.12 Si a y n son enteros tales que a n−1 ≡ 1 (mod n) y a (n−1)/q �≡ 1 (mod n) para todos los
divisores primos q de n − 1, entonces n es primo.
Prueba: Como los divisores propios de n − 1 dividen (n − 1)/q para algún primo q, entonces
Ordm(a) no divide al entero (n − 1)/q, según la hipótesis del teorema. Por tanto, la única posibilidad
es que Ordm(a) = n − 1. Así, (Z/nZ) ∗ tiene n − 1 elementos, entonces n debe ser
primo.
Con este teorema podríamos decidir si n es primo si conocemos la factorización de n − 1.
EJEMPLO 4.18
Usar el teorema (4.12) para probar que n = 229 es primo.
Solución: n − 1 = 2 2 · 3 · 19. Para probar que n es primo debemos encontrar 2 ≤ a ≤ 228
tal que a 228 ≡ 1 (mod 229) y a (228)/q �≡ 1 (mod 229) para q = 2,3,19. Ahora hacemos una
búsqueda exhaustiva:
∴ n = 229 cumple las condiciones del teorema (4.12) para a = 6. Por tanto, n = 229 es
primo.
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