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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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104 RESIDUOS

104 RESIDUOS CUADRÁTICOS � a compuesto, hay un divisor primo impar pi de m tal que p i � = −1. Si suponemos que a es residuo cuadrático módulo m tendríamos una contradicción pues x 2 ≡ a (mod m) =⇒ x 2 ≡ a (mod p i). El símbolo de Jacobi simplifica el cálculo del símbolo de Legendre cuando a es compuesto impar y p primo, como veremos más adelante. Teorema 6.6 (Propiedades del símbolo de Jacobi) Sea m un entero positivo impar, a,b,n enteros con mcd(a,m) = mcd(b,m) = 1 entonces, (1) � a � � � a mod m = m m (2) � � ab � a � = m m � � b m (3) � a2 � = 1. En particular, m (4) � � −1 = (−1) m (m−1)/2 (5) � � 2 = (−1) m (m2−1)/8 � � 1 = 1 m (6) Ley generalizada de reciprocidad cuadrática. par y mcd(m,n) = 1 EJEMPLO 6.16 � n � = m � m � (−1) n (m−1)(n−1)/4 si también n es im- � � 391 corresponde al símbolo de Legendre pues 439 es primo. Como mcd(391,439) = 1, 439 podemos usar la ley generalizada de reciprocidad cuadrática calculando como símbolo de Jacobi. � � 391 439 = (−1) (439−1)(391−1)/4 � � 439 (Reciprocidad cuadrática generalizada) 391 � � � � � � 439 439 mod 391 48 = −1 · = = − 391 391 391 � 42 � � � � � 3 3 = − = − = −(−1) 391 391 391 (391−1)(3−1)/4 � � 391 3 � � 1 = = 1 3

EJERCICIOS 6.1 Calcule los residuos cuadráticos módulo 9. 6.2 Muestre que si p es primo impar, p−1 ∑ a=1 � a p � = 0 EJERCICIOS 105 6.3 Use el símbolo de Jacobi para verificar si 48 no es residuo cuadrático módulo 391. 6.4 Use el símbolo de Legendre para verificar que si q es el más pequeño residuo no cuadrático módulo p (primo impar), entonces q debe ser primo. 6.5 � � −1 Muestre que = 1 ⇐⇒ p ≡ 1 (mod 4). p 6.6 Sea p es primo impar. Muestre que p − 1 es residuo cuadrático módulo p, si y solo si p ≡ 1 (mod 4). Ayuda: Verifique que si x2 ≡ p − 1 (mod p), entonces x2 ≡ −1 (mod p). � � a 6.7 Sea p es primo impar y = 1. Muestre que p − a es residuo cuadrático módulo p, p si y solo si p ≡ 1 (mod 4). Veamos que −a es residuo cuadrático si y solo si p − a es residuo cuadrático, pues x2 ≡ −a (mod p) ⇔ x2 ≡ p − a (mod p). Ahora vamos a probar, usando el símbolo de Legendre, que −a es residuo cuadrático módulo p si y solo si −1 es residuo cuadrático módulo p (⇔ p ≡ 1 (mod 4)). � � a = 1 ⇔ p � −1 p � � � a = p � � −1 p ⇔ � � −a = p � � −1 . p Así , p − a es residuo cuadrático módulo p si y solo si −1 es residuo cuadrático módulo p, es decir, si y solo si p ≡ 1 (mod 4).. � a � � a � 6.8 Muestre que = 1 si a ≡ ±1 (mod 5), y = −1 si a ≡ ±2 (mod 5). Ayuda: recipro- 5 5 cidad cuadrática y reducción módulo 5. 6.9 Sea n > 1. Muestre que si p es factor primo de n 2 + 1, entonces p ≡ 1 (mod 4). 6.10 Sea p es primo impar y p, si y solo si p ≡ 3 (mod 4). 6.11 Sea p primo impar. Muestre que si cuadrático módulo p. � � a = 1. Muestre que p − a es no es residuo cuadrático módulo p � � a = 1, entonces el inverso de a es residuo p 6.12 Sea p primo y p ∤ A. Si Ax 2 + Bx + C ≡ 0 (mod p), muestre que (2Ax + B) 2 ≡ B 2 − 4AC (mod p) Ayuda: En Ax 2 + Bx + C ≡ 0 (mod p) multiplique por 4A y agrupe. 6.13 Resolver la congruencia 3x 2 − 4x + 7 ≡ 0 (mod 13) 6.14 Muestre que 3x 2 + 7x + 5 ≡ 0 (mod 13) no tiene solución. 6.15 Si p es primo impar, probar que 8k + 1, p = 8k − 3. p − 1 2 − � p � ≡ 4 p2 − 1 (mod 2) para los casos p = 8 6.16 Sea p primo impar, mcd(a, p) = 1 y b raíz primitiva módulo p. Sea a ≡ b s (mod p). Muestre que si s es par, entonces a es residuo cuadrático; sino, a no es residuo cuadrático.

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