Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

EJERCICIOS
6.1 Calcule los residuos cuadráticos módulo 9.
6.2 Muestre que si p es primo impar,
p−1
∑
a=1
� a
p
�
= 0
EJERCICIOS 105
6.3 Use el símbolo de Jacobi para verificar si 48 no es residuo cuadrático módulo 391.
6.4 Use el símbolo de Legendre para verificar que si q es el más pequeño residuo no cuadrático
módulo p (primo impar), entonces q debe ser primo.
6.5
� �
−1
Muestre que = 1 ⇐⇒ p ≡ 1 (mod 4).
p
6.6 Sea p es primo impar. Muestre que p − 1 es residuo cuadrático módulo p, si y solo si
p ≡ 1 (mod 4). Ayuda: Verifique que si x2 ≡ p − 1 (mod p), entonces x2 ≡ −1 (mod p).
� �
a
6.7 Sea p es primo impar y = 1. Muestre que p − a es residuo cuadrático módulo p,
p
si y solo si p ≡ 1 (mod 4). Veamos que −a es residuo cuadrático si y solo si p − a es residuo
cuadrático, pues x2 ≡ −a (mod p) ⇔ x2 ≡ p − a (mod p).
Ahora vamos a probar, usando el símbolo de Legendre, que −a es residuo cuadrático módulo
p si y solo si −1 es residuo cuadrático módulo p (⇔ p ≡ 1 (mod 4)).
� �
a
= 1 ⇔
p
� −1
p
� � �
a
=
p
� �
−1
p
⇔
� �
−a
=
p
� �
−1
.
p
Así , p − a es residuo cuadrático módulo p si y solo si −1 es residuo cuadrático módulo p, es
decir, si y solo si p ≡ 1 (mod 4)..
�
a
�
�
a
�
6.8 Muestre que = 1 si a ≡ ±1 (mod 5), y = −1 si a ≡ ±2 (mod 5). Ayuda: recipro-
5
5
cidad cuadrática y reducción módulo 5.
6.9 Sea n > 1. Muestre que si p es factor primo de n 2 + 1, entonces p ≡ 1 (mod 4).
6.10 Sea p es primo impar y
p, si y solo si p ≡ 3 (mod 4).
6.11 Sea p primo impar. Muestre que si
cuadrático módulo p.
� �
a
= 1. Muestre que p − a es no es residuo cuadrático módulo
p
� �
a
= 1, entonces el inverso de a es residuo
p
6.12 Sea p primo y p ∤ A. Si Ax 2 + Bx + C ≡ 0 (mod p), muestre que (2Ax + B) 2 ≡ B 2 −
4AC (mod p) Ayuda: En Ax 2 + Bx + C ≡ 0 (mod p) multiplique por 4A y agrupe.
6.13 Resolver la congruencia 3x 2 − 4x + 7 ≡ 0 (mod 13)
6.14 Muestre que 3x 2 + 7x + 5 ≡ 0 (mod 13) no tiene solución.
6.15 Si p es primo impar, probar que
8k + 1, p = 8k − 3.
p − 1
2 −
�
p
�
≡
4
p2 − 1
(mod 2) para los casos p =
8
6.16 Sea p primo impar, mcd(a, p) = 1 y b raíz primitiva módulo p. Sea a ≡ b s (mod p).
Muestre que si s es par, entonces a es residuo cuadrático; sino, a no es residuo cuadrático.