Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

6.1.2 Sluten och exakt form Vi såg ovan att Stokes sats berättar hur vi kan beräkna integralen av derivaran av en form på ett område, genom att integrera formen själv över randen på området. Detta leder oss till att ställa frågan hur det är om vi har integralen över ett område av någon form, om denna formen i sin tur är derivatan av någon annan form. Är den det kan vi använda Stokes sats. Vi vill klassificera dessa olika typer av former och definierar därför: Definition 6.3. . • En form är sluten om dess externa derivata är noll: dω = 0 • En form är exakt om den är extern derivatan av någon annan form: ω = dφ Namnen är välbefogade: en sluten form förändras inte, till exempel en skalärfunktion är konstant, ett vektorfält har ingen källa (divergensen är noll) eller är rotationsfritt (rotationen är noll). Även benämningen ’exakt form’ känns välbefogat: integralen av en exakt form över en kurva är, som en rak följd av stokes sats, enbart beroende på start- och slutpunkt av kurvan. Generellt är integralen av en exakt form enbart beroende på randen till området formen integreras över. Låt oss ge ytterligare två exempel på slutna former. Vi antar att rummet är R n . • En skalärfunktion är en 0-form. Den externa derivatan av skalärfunktionen är gradienten. Om formen är sluten betyder det att gradienten är noll. Om gradienten är noll på hela området har vi en konstansfunktion. Detta betyder också att integralen av formen över varje sluten kurva vara noll. • En 1-form är ett vektorfält. Den externa derivatan av ett vektorfält är dess rotation. Så om formen är sluten har inte vektorfältet någon rotation. Detta betyder att vektorfältets bidrag kommer precis att ta ut varandra över varje sluten kurva, vilket betyder att integralen av fältet över en sluten kurva är noll. Vi kan även se att exakta former måste vara slutna eftersom, för ω = d φ; ω = φ(A) − φ(A) = 0 ∀φ ∈ Ω r−1 enligt Stokes sats Det ser vi formellt eftersom d är nilpotent. 4 Vi formulerar därmed följande sats: Sats 6.3. d ω = 0 om ω = d φ, ty d ω = d(d φ) = 0. 4 Ett element n är nilpotent omm n 2 = 0 97
Man kan fråga sig om inte det omvända gäller: att slutna former också är exakta, eftersom fallet varit så i våra tidigare exempel. Anledning till detta är att R n är en mångfald som beter sig snällt och nästa avsnitt ska vi undersöka vilka krav vi måste ställa på mångfalden för att varje sluten form även ska vara exakt. 6.1.3 Poincarés lemma Vi har lärt oss att varje exakt r-form är sluten, detta eftersom den externa derivatan av en exakt form är noll. Från vektorfälten känner vi även till att rotationsfria fält har en potential, vilket översatt till formspråk betyder att slutna former är exakta. Detta betyder att då vi har behandlat dessa situationer i vektorfält är sluten och exakt form ekvivalenta. Detta gäller dessvärre inte generellt sätt. Exempel 6.1. Låt d θ vara en 1-form, med θ definierad som vanligt - vinkeln mot ena koordinataxeln, definierad på R2 \ {0}. Den är då sluten men inte exakt. Man inser utan svårighet att den är sluten, men för att se att den inte är exakt behöver man beräkna integralen ett varv runt origo. γ d θ = 2π då γ är ett slutet varv runt origo, orienterat medurs. Notera att θ inte är globalt definierat, eftersom vinkeln är samma varje heltaligt varv. Det är detta som gör att formen inte är exakt. Exempel 6.2. Låt d θ vara definierad som i exemplet ovan, men nu på ett snittat plan: R 2 \ {(x, 0), x ≤ 0}. I detta fall är vår 1-form både sluten och exakt, vilket kan inses eftersom θ nu är globalt definierad - men även via Poincarés lemma som snart följer. 5 Vi kan observera en viktig detalj om slutna former: integralen av en sluten form runt en sluten kurva är inte alltid noll, det sammanfaller bara då formen är exakt. Poincarés lemma knyter ihop dessa begrepp och visar när vi kan förvänta oss att en sluten form också är exakt. Detta beror på hur mångfalden, som är definitionsmängden för vår form, beter sig. Lemma 6.1 (Poincarés lemma). Om en koordinatomgivning U av en mångfald M kan deformeras kontinuerligt till en punkt p0 ∈ M så är varje sluten r-form på U även exakt. 6 Lägg märke till att i exemplet ovan kan vi deformera definitionsmängden kontinuerligt till origo för vår form. Dock ligger origo inte i definitionsmångfalden för vår form och alltså gäller inte teoremet i det fallet. 5 Detta är likt hur man i komplex analys använder principalgrenen till logaritmer, vilket inte är ett sammanträffande som vi kommer se nedan. 6 För bevis hänvisar vi till s. 235 [1]. Notera att detta är en intuitiv formulering som duger för våra syften, men som inte är matematisk korrekt. 98
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?