Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Definition 7.17 (Adjunkten till externa derivatan). Adjunkten till den externa derivatan d : Ω r−1 (M) → Ω r (M) ges av operatorn d † : Ω r (M) → Ω r−1 (M), med d † = ±(−1) mr+m ∗ d∗ (+ gäller för riemmannmetrik och − för lorentzmetrik). 7.9.3 Elektromagnetism Elektromagnetismen låter sig beskrivas på ett naturligt sätt genom att använda former. Med hjälp av den externa derivatan och dess adjunkt kan Maxwells ekvationer på en godtycklig mångfald med Lorentzmetrik (i vakuum och naturliga enheter) skrivas som två tensorekvationer. dF = 0 och d † F = J (7.46) Här är J ström-ett-formen J = Jµ dx µ = −ρ dt + jk dx k och F den elektromagnetiska tensorn. F är en komplett antisymmetrisk tensor av typ (0, 2) (det vill säga en 2-form) och skrivs därför som bekant, se ekvation : Där komponenterna ges av: 10 (Fµν) = F = 1 2 Fµνdx µ ∧ dx ν . (7.47) ⎛ 0 Ex Ey Ez ⎜−Ex ⎜ ⎝−Ey 0 Bz −Bz 0 By ⎟ −Bx⎠ . (7.48) −Ez −By Bx 0 Dessutom så blir kontinuitetsekvationen dJ = 0. Här lämpar det sig att tillämpa våra kunskaper för att visa hur ekvationerna (7.46) ovan reduceras till den klassiska formen på Maxwells ekvationer när vi befinner oss i ett Minkowskirum. Vi undersöker alltså hur ekvationerna ser ut för en mångfald med Minkowskimetrik. Kom ihåg att metrikens koefficienter då ges av (7.7) på sidan 110. Mångfalden (“rummet”) har m = 4 dimensioner, varav en tidslik och tre rumslika. Indexen µ och ν tar värderna 0, 1, 2, 3 och indexet k = 1, 2, 3. Vi skriver (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ≡ (t, x, y, z) och ∂ ∂x µ ≡ ∂µ. Låt oss börja med dF = 0. Definitionen av extern derivata, ekvation (5.11) sidan 74, ger 1 2 ∂λFµνdx λ ∧ dx µ ∧ dx ν = 0. (7.49) I detta läga så är det bra att komma ihåg två av kilproduktens egenskaper: dx λ ∧ dx µ ∧ dx ν = 0 om något index förekommer minst dubbelt och att dx λ ∧dx µ ∧dx ν byter tecken varje gång två index byter plats (antisymmetri). 10 Detta är ett av två sätt att kombinera ihop det elektriska och magnetiska fältet till en antisymmetrisk tensor. 129 ⎞
Nu kan summationen utföras enklare, och det kan till exempel göras genom att för varje fix komponent i (7.48) kolla vilka summationstermer den ger upphov till. Det syns direkt att alla termer med Fµµ är noll, så vi börjar med F01 som ger upphov till följande (nollskilda) termer: 1 2 ∂yF01dy ∧ dt ∧ dx (7.50) 1 2 ∂zF01dz ∧ dt ∧ dx. (7.51) Detta är på grund av antisymmetrin i både tensorn och kilproduketen exakt samma termer som F10 ger upphov till: 1 2 ∂yF10dy ∧ dx ∧ dt = 1 2 ∂yF01dy ∧ dt ∧ dx (7.52) 1 2 ∂zF10dz ∧ dx ∧ dt = 1 2 ∂zF01dz ∧ dt ∧ dx. (7.53) Det räcker alltså att kolla på koefficienterna ovanför diagonalen och ekvation (7.49) blir då: ⎫ −(∂yEz − ∂zEy)dt ∧ dy ∧ dz⎬ −(∂xEz − ∂zEx)dt ∧ dx ∧ dz ⎭ −(∂xEy − ∂yEx)dt ∧ dx ∧ dy + ⎫ −∂tBxdt ∧ dy ∧ dz⎬ +∂tBydt ∧ dx ∧ dz ⎭ −∂tBzdt ∧ dx ∧ dy −(∂xBx + ∂yBy + ∂zBz)dx ∧ dy ∧ dz = 0. Notera hur vi har grupperat termerna. Det första blocket motsvarar en rotation, det andra en derivata och det tredje en divergens. Basen är dock element i Ω 3 (M). För att visa att detta är samma sak som när vi använder “vanliga” basvektorer, så måste vi hitta en isomorfism mellan Ω 3 (M) och X (M). En sådan ges av ε κλµν = −εκλµν (från ekvation (7.44) sidan 128), genom att vi identifierar komponenterna i en vektor med komponenterna i en 3-form: x κ = ε κλµν ωλµν. Alltså till exempel x 0 = −(ω123 +ω312 +ω231 −ω132 −ω321 −ω213). Vår 3-form dF har bara de komponenter vi ser här ovan, varför vi identifierar x 0 = ∂xBx + ∂yBy + ∂zBz. Samma procedur applicerad på de andra koefficienterna ger nu att dF = 0 exakt motsvaras av: ∇ × E = −∂tB och ∇ · B = 0. (7.54) För att visa hur d † F = J reduceras till de andra två Maxwellekvationerna noterar vi först att, då m = 4 och r = 2, så blir d † F = −(−1) mr+m ∗ d ∗ F = − ∗ d ∗ F . I ett nästa steg undersöks vad Hodgestjärnanorna och den externa derivatan gör med F . Enligt definitionen (7.16) (sidan 128) och (5.11) sidan 74 har vi: = − ∗ 1 − ∗ d ∗ 2 Fµνdx µ ∧ dx ν 1 µν ∂ξ(Fµνε 4 κλ )dxξdx κ ∧ dx λ 1 µν = − ∗ d Fµνε 4 κλdxκ ∧ dx λ 130 = − 1 µν ∂ξ(Fµνε 4 κλ )εξκλ π dx π
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?