Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Kapitel 1<br />
Grupper<br />
Den algebraiska strukturen som fått namnet grupper har visat sig sammanfalla<br />
med ett flertal strukturer inom naturvetenskapen, fram<strong>för</strong>allt inom<br />
fysiken. Det fanns redan tidigt starka kopplingar mellan gruppteori <strong>och</strong> <strong>geometri</strong><br />
eftersom <strong>geometri</strong> var ett av de områden ur vilken gruppteorin växte<br />
fram. Det är där<strong>för</strong> naturligt att grupper <strong>för</strong>ekommer i fysiken. Ett annat<br />
område ur vilket gruppteorin växte fram var algebran, vilket skapade nya<br />
kopplingar mellan algebra <strong>och</strong> <strong>geometri</strong>. Redan Lagrange studerade grupper<br />
inom teorin <strong>för</strong> algebraiska ekvationer, men det var <strong>för</strong>st under mitten av<br />
1800-talet som gruppteori började bli en självständig teori med kopplingar<br />
till många olika områden. Därefter har utveckling skett kontinuerligt under<br />
senare halvan av 1800-talet <strong>och</strong> hela 1900-talet, en utveckling som fortsätter<br />
än idag. De algebraiska strukturer som inte är lika oumbärliga <strong>för</strong> huvudtexten,<br />
exempelvis ringar <strong>och</strong> kroppar, avhandlas i appendix B. Att gruppteori<br />
återfinns i flera andra matematikområden beror på att grupper är en abstrakt<br />
struktur, alltså en relation mellan <strong>allmän</strong>na objekt. Teorin <strong>för</strong> grupper <strong>och</strong><br />
andra abstrakta strukturer kallas abstrakt algebra.<br />
1.1 Begreppet grupp<br />
Mängder <strong>och</strong> relationer är <strong>allmän</strong>na begrepp vilket betyder att man ofta<br />
behöver avgränsa sig till specifika mängder <strong>och</strong> relationer inom det aktuella<br />
området. De reella talen <strong>och</strong> de operationer vi använder på dem är ett konkret<br />
exempel på en avgränsning man kan göra vilket ändå ger upphov till en<br />
omfattande teori. Ett generellt begrepp som visat sig vara användbart är<br />
grupper.<br />
Definition 1.1 (Grupp). En grupp {G, ∗} är en mängd G <strong>och</strong> en binär operation<br />
1 ∗ : G × G → G som uppfyller följande villkor:<br />
1 En binär operation på en mängd M är en avbildning som till varje ordnat par av<br />
element i M ordnar ett element i M. Mängden av alla ordnade par av en mängd M kallas<br />
10
Change language