Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Operatorn ∗ brukar kallas för Hodgestjärnan eller Hodgedualen. I definitionen
av ∗ använder vi oss av Levi-Civita symbolen
⎧
⎨+1
om (µ1µ2...µm) är en jämn permuation av (12...m)
εµ1µ2...µm = −1 om udda
⎩
0 annars.
(7.44)
Notera att vi kan använda metriken för att höja indexen, g µ1ν1 µ2µ3...µm ε ν1 =
ε µ1µ2...µm , vilket ger:
1
det(gµν) εµ1µ2...µm = ε µ1µ2...µm .
Om ∗ appliceras två gånger på en r-form, så får vi igen en r-form:
Ωr ∗
(M) −−→ Ωm−r ∗
(M) −−→ Ωr (M). Detta gör att det finns en väldigt enkel
invers till Hodgestjärnan. ∗ −1 = ±(−1) r(m−r) ∗, där + gäller för en riemannmetrik
och − för en lorentzmetrik.
Den naturliga isomorfismen mellan H r (M) och H m−r (M), det vill säga
Hodge ∗ operatorn, möjliggör definitionen av en adjunkt d † till den externa
derivatan d. d tillsammans med d † gör att vi kan omformulera elektromagnetism
på ett modernt, snyggt och kompakt sätt. Adjunkten möjliggör också
definitionen av en allmän laplaceoperator, vilket gör att vi kan börja tala om
harmoniska former. Dessa harmoniska former visar sig vara djupt förbundna
med de kohomologigrupper som vi talade om i kapitel (6). Det är dit vi är
på väg nu.
7.9.2 Adjunkten till externa derivatan
En adjunkt d † till en operator d är i allmänhet någonting som uppfyller
(dβ, α) = (β, d † α), där (·, ·) står för inre produkt. Innan en adjunkt kan
införas behöver vi alltså någon typ av inre produkt. Som innan så inducerar
hodgestjärnan en naturlig inre produkt mellan två r-former, vilken vi
definierar som:
(ω, η) ≡ ω ∧∗η = 1
r!
M
M
ωµ1...µrη µ1...µr
|det(gµν)|dx 1 ∧....∧dx m (7.45)
Detta är en bra definition eftersom denna inre produkt både är symmetrisk
och positivt definit åtminstone för riemannmetriker. Dessutom så är den invariant
(under koordinattransformationer), på grund av att |det(gµν)|dx 1 ∧
.... ∧ dx m är ett invariant volymelement.
Om vi låter α vara en r-form och β en (r-1)-form så vill vi alltså nu hitta
en operator d † som uppfyller (dβ, α) = (β, d † α). Hur gör vi det? Vi nöjer oss
här med att säga att det kan göras och att svaret är följande:
128