Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har vi
〈f ∗ w, V 〉 = 〈w, f∗V 〉 (5.155)
Differentiera nu båda leden. Denna likhet gäller nu för alla V . Välj speciellt
V = konstant som då ger V.L= 〈df ∗ w, V 〉 + 〈f ∗ w, dV 〉 = 〈df ∗ w, V 〉 eftersom
dV = 0. Helt analogt fås H.L= 〈dw, f∗V 〉 eftersom df∗V = 0. Men enligt
definition har vi 〈dw, f∗V 〉 = 〈f ∗ dw, V 〉 det vill säga 〈df ∗ w, V 〉 = 〈f ∗ dw, V 〉.
Denna likheten är en identitet vilken är helt oberoende av V . Man kan därför
identifiera df ∗ w = f ∗ dw
de Rham komplexet
de Rham komplexet är en viss serie avbildningar
Ω p fp
0 (M) → Ω p+1
0 (M) fp+1
→ Ω p+2
0 (M) (5.156)
där bilden Im fp(Ωp (M)) av Ωp i Ωp+1 i sin tur är ker i fp+1(Ω p
0
innebär att
Väljer vi nu fp = dp gäller det att
(M)). Detta
fp+1(fp(Ω p
0 )) = 0 (5.157)
dpdp+1(Ω p (M)) = 0 (5.158)
eftersom dpdp+1 = 0 ∀p de Rham komplexet återkommer i kapitlet 6 där
vi behandlar kohomologiteori och differentiella former.
5.4.6 Intern derivata och Lie-derivatan på former
Den externa derivatan dr på Ω r kunde definieras som en avbildningfrån Ω r →
Ω r+1 genom att antalet basvektorer i Ω r utökades med en till: dx µ1 ∧ ... ∧
dx µr → dx ν ∧ dx mu1 ∧ ... ∧ dx µr . Man kan konstruera en omvänd avbildning
som vi kallar ix:
ix : Ω r → Ω r−1
(5.159)
där man miskar antalet produktbasvektorer med ett. Detta innebär att vi
får
dx µ1 ∧ dx µ2 ∧ ... ∧ dx µr → dx µ2 ∧ ... ∧ dx µr (5.160)
Denna reduktion får man genom att utnyttja en inre produkt mellan vektorn
˜X ∈ T m (M) och en-formen dx µ1 ∈ T m∗ (M).
76