Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

I R n finns den evivalenta tolkningen att ett simplex är n+1 st punkter
p0p1...pn sådana att p1 − p0, ..., pn − p0 är linjärt oberoende. Från grafteori
har vi också tolkningen att ett n-simplex är den kompletta grafen med n+1
hörn.
Ovan är olika formuleringar som säger samma sak - ett n-simplex är en
n-dimensionell triangel. Ett 0-simplex är en punkt, ett 1-simplex är en linje,
ett 2-simplex är en triangel, ett 3-simplex är en tetraeder, osv. Ett n-simplex
är den mest grundläggande n-dimensionella kroppen, i den mening att ingen
av punkterna som bygger upp den är överflödig.
Ett n-simplex kommer vi hädanefter alltid anta är orienterat vilket betecknas
med (p0...pn). Eftersom det är orienterat vet vi att (pj1...pjn) =
−(pu1...pun) där jk och uk visar på jämn respektive udda permutation av
0, 1, ..., n.
Precis som enhetscirkeln och enhetskuben är enkla standardfigurer finns
det något som kallas standard n-simplex vilket används av samma skäl.
Definition 4.4 (Standard n-simplex). Standard n-simplex i R n är ¯σn =
(p0p1...pn), där pi = (01, 02, ..., 1i, 0i+1, ..., 0n)
Ett standard n-simplex är ett n-simplex där koordinaterna för hörnen
beskrivs av basortsvektorerna. Standard n-simplex skulle kunna heta nenhetssimplexet.
Definition 4.5 (Simplicellt komplex). Om K är en ändlig mängd av simplex
i R M , och K uppfyller att:
i Varje sida till ett simplex i K tillhör K.
ii För varje par av simplex i K är snittet mellan dem antingen tomt eller
en gemensam sida. Formellt: ∀σ, σ ′ ∈ K, gäller att σ ∩ σ ′ = ∅ eller att
σ ∩ σ ′ ≤ σ och σ ∩ σ ′ ≤ σ ′
Ett simpliciellt komplex kan tänkas genom att man tar simplex av olika
dimension och sammanfogar dem. Genom detta kan man bygga upp vilken
månghörning som helst genom att ta unionen över alla simplex i det simpliciella
komplexet som bygger upp månghörningen. Låt oss formalisera.
Unionen av alla simplex i ett simpliciellt komplex K betecknas |K| och
kallas för polyedern |K| av det simpliciella komplexet K. Viktigt att lägga
märke till att |K| är en kropp medan komplexet är en mängd av simplex.
Med de krav vi har på simpliciella komplex kan vi se att om det simpliciella
komplexet har dimension k har även polyedern dimension k. Vi ser även att
unionen måste vara en månghörning vilket berättigar namnet.
Till exempel kan K vara alla hörn, kanter och sidor i en kub, vilket
betyder att polyedern, |K|, är själva kuben.
Definition 4.6 (Triangulering av ett topologiskt rum). Om X är ett topologiskt
rum 7 och det existerar ett simpliciellt komplex K med en homeo-
7 se kap.4 för definition av ett topologisk rum
36