Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vi skapar en n-kedja genom att länka ihop flera n-simplex, möjligen flera
av samma n-simplex, vilket berättigar namnet.
Definition 4.9 (n-kedjegruppen). n-kedjegruppen Cn definieras som mängden
av alla n-kedjor: Cn(X) = {y : y är en n-kedja på topologiska rummet X}
med den uppenbara gruppstrukturen.
Det är viktigt att vi nu har en grupp, vilket betyder att vi kan börja
närma oss målet att finna en homologigrupp. Detta eftersom vi kan skapa
delgrupper till våran kedjegrupp som uppfyller de krav vi vill använda. Efter
det kan vi definiera en kvotgrupp består av ekvivalensklasserna av områden
som inte är rand till något, och inte heller har någon rand. För att nå det
målet behöver vi kunna skapa en randgrupp och en cykelgrupp (där element
i cykelgruppen är randlösa - de består av en cykel).
Låt oss därför definiera randoperatorn ∂.
Definition 4.10 (Randoperatorn). ∂n : Cn(X) → Cn−1(X) : (σ : [p0, ..., pn] →
X) ↦→ (∂nσ = n
k=0 (−1)k σ([p0, ..., pk−1, pk+1, ..., pn])
Vi ser att sammansättningen av följande randoperatorer alltid är noll,
∂ ◦ ∂n+1 = 0, vilket betyder att randen till ett område aldrig själv har en
rand. Till exempel är randen till en ifylld cirkel en sluten kurva, omkretsen,
som inte har några randpunkter. Detta är en fortsättning på vår tidigare
randdefinition, vilken behåller idén om rand men tillåter oss att kräva vissa
mönster av randen till ett område - och då kan vi utnyttja randen för att
skapa undergrupper till våra kedjegrupper.
4.2.2 Homologigruppen
Vi börjar närma oss målet med att ta fram alla områden som inte är rand
till något annat område och inte heller har en rand. För att göra det formellt
behöver vi hitta alla områden som inte är en rand till ett annat område, och
sedan sätta att två sådana områden är ekvivalenta om de två tillsammans
är rand till ett annat område.
Ta som exempel två olika cirklar runt om en cylinder. Dessa två cirklar
är var för sig inte rand till något område på cylindern, men tillsammans är
de rand till området mellan dem. Detta betyder att vi betraktar dessa två
cirklar som ekvivalenta med avseende på homologigruppen 8 .
Gruppteoretiskt vill vi skapa mängden av områden som inte har en rand,
och sedan bilda kvotgruppen mellan den och de områden av en högre dimension
som har en rand.
Definition 4.11 (Cykelgrupp och randgrupp). Zn(X) = ker(∂n), Bn(X) =
im(∂n+1)
8 Se exempel 5.4
38