Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Denna definition säger att bilden av p under transformationen 9 av g2 :
σ(g2, p) är en punkt p ′ = σ(g2, p) på G. På p ′ verkar nu elementet g1:
σ(g1, p ′ ) = σ(g1, (σ(g2, p))) (5.200)
med samma resultat som om man direkt verkar med grupprodukten g1 ◦ g2
på p. Det är speciellt viktigt att understryka skillnaden mellan vår tidigare
definition av liegrupper där G × G → G. Vi har alltså generaliserat ett steg
ytterliggare genom att gruppen G i G × M → M ej är identisk med M
Nedan presenteras några exempel 10 på verkan av liegrupper på olika
mångfalder. Vi börjar dock med att definera och karakterisera denna verkan.
Definition 5.20 (Liegruppens verkan). Låt G vara en Liegrupp som verkar
på en mångfald M. Denna verkan σ : G × M → M sägs vara
a) transitiv om för någon p1, p2 ∈ M existerar det ett element g ∈ G
sådant att ϕ(g, p1) = p2;
b) fri om det existerar ett element p sådant att ϕ(g, p) = p då måste g
vara det neutrala elementet e;
c) effektiv om det neutrala elementet e ∈ G är ett unikt element som
definerar verkan på M, med andra ord om σ(g, p) = p, ∀p ∈ M då
måste g vara det neutrala elementet.
Exempel 5.12 (liegruppernas verkan). Övre halvplanet är en öppen delmängd
av R med alla punkter (x, y) ∈ R, y > 0. Låt oss associera H med
mängden av komplexa tal, z ∈ C och ℑz > 0. Om vi definerar en transitiv
verkan
σ: SL(2,R) × H → H
För något z ∈ H och för någon matris A ∈ SL(2,R) får vi
där
A · z = az+b
cz+d ,
A =
med detA = 1.
Avbildningarna som uppfyller z → az+b
cz+d
a b
c d
9 Lägg märke till att transformationen är en translation
10 För utförligare behandling se [8]
91
kallas för Möbiustransformationer.