Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

6.3.1 Poincarés dualitet
Innan vi skall studera kohomologigruppernas struktur skall vi titta närmare
på en ytterligare egenskap som kallas Poincarés dualitet. Vi låter
M vara m-dimensionel mångfald och vidare antar vi att ω ∈ Hr (M) och
η ∈ Hm−r (M). Vi definerar en inre produkt 〈, 〉 : Hr (M) × Hm−r (M) → R
som
〈ω, η〉 ≡ ω ∧ η. (6.13)
där ω ∧ η betecknar ett volymelement.
Denna produkt definerar Poincarés dualitet mellan H r (M) och H m−r (M)
och är bilinär men inte singulär. En intressant observation av Eulerkarakteristiken
är att mångfalder med udda dimension försvinner
χ(M) = (−1) r br = 1
M
r
(−1) br +
2
(−1) m−r
bm−r
= 1
r
(−1) br −
2
(−1) −r
br = 0. (6.14)
där vi använde oss av Betti-tal symmetri - nämligen br = bm−r.
6.4 De Rham kohomologigrupper och deras struktur.
En intressant egenskap hos de Rham kohomologigrupper är att de kan ha en
ringstruktur, medan homologigrupper kan inte ha det. För en definition av
algebraiska ringar se i appendix avsnitt B.2. Ringar är mycket intressanta
och betydelsefulla algebraiska objekt. Deras struktur kan varieras från enkla
till väldigt komplicerade strukturer med många tillämpningar i fysik i bland
annat teorier om supersymmetriska fält och kvantringteori. Det finns flera
olika typer av ringar:
• Ringen av heltal Z
• Ringen av gaussiska heltal Z[i]
• Ringen av polynom C[x1, ..., xn] i n variabler
• Ringen av n × n matriser
• Ringen av reella tal R
• Trivial ring
Konceptet bakom algebraiska ringar kan också tillämpas på kohomologiteori
där vi vill introducera kohomologiringar av topologiska rum. Vi fortsätter nu
med att definera dessa kohomologiringar.
106