Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Bilaga C
Utelämnade bevis
C.1 Tensorer.
Definition C.1. Tensorprodukten över V k betecknas ⊗ k V och definieras
definieras enligt: ⊗ k V är ett vektorrum med en multilinjär avbildning ρ :
V k → ⊗ k V sådan att för varje vektorrum P och varje multilinjär avbildning
φ : V k → P existerar en och endast en homomorfism f : ⊗ k V → P sådan
att fρ = φ
C.2 Mångfalder
Bevis C.1 (Jaceks bevis av egenskaper av en-parameter delgrupp). a) Låt
t, s ∈ R och vi låter t = s = 0 dvs φ(0)φ(0) = φ(0), vi dividerar ekvationen
med φ(0) och vi får φ(0) = φ(0)
φ(0) = e.
b) Vi låter nu s = −t och vi finner att φ(t)φ(−t) = φ(0) genom att dividera
likheten med φ(t) får vi den sökta relationen φ(−t) = φ(0)
φ(t)
där e beteckar som vanligt ett neutralt element.
= e
φ(t) = φ−1 (t)
Lemma C.1 (Konvergens lemma av matrisexponential). Låt A = (aij) vara
(reell eller komplex) n × n matris och låt Om Ap = (a (p)
ij ), då
|a (p)
ij | ≤ (nµ)p
∀i, j, 1 ≤ i, j ≤ n vilket medför att n 2 serien
konvergerar absolut och matrisen
p≥0
a (p)
ij
p!
e A =
p≥0
153
A p
p!