Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

6.4.1 Kohomologiringar
Låt [ω] vara ett element av H q (M) och [η] vara ett element av H r (M) (en
klass av slutna q och r-former). Kilprodukten av två slutna q och r -former
(externa produkten) är alltid en sluten (q + r)-form som är ett element av
Hq+r (M), därmed är kilprodukten av klasser väldefinerad [ω] ∧ [η] = [ω ∧ η]
och beror inte på vilka representanter vi väljer. Låt oss skriva ω ′
= ω + dψ
och sätt in detta i vår kilprodukt
[ω ′
] ∧ [η] ≡ [(ω + dψ) ∧ η] = [ω ∧ η + d(ψ ∧ η)] = [ω ∧ η]
och produkten ∧ : H q (M) × H r (M) → H q+r (M) är en väldefinerad avbildning.
de Rham kohomologi ring H ∗ (M) defineras av den direkta summan
H ∗ (M) ≡
m
H r (M) (6.15)
r=1
där produkten kommer från den externa produkten
∧ : H ∗ (M) × H ∗ (M) → H ∗ (M) (6.16)
Den direkta summan av ringar R1, R2, ....., Rn är en mängd
R1 ⊕ R2 ⊕ .........Rn = {r1, r2, .....rn} : ri ∈ Ri för i = 1.....n
med addition och multiplikation definerad komponentvis, det vill säga
(r1, r2, ....., rn) + (s1, s2, ....., sn) = (r1 + s1, r2 + s2, ....., rn + sn)
(r1, r2, ....., rn) + (s1, s2, ....., sn) = (r1s1, r2s2, ....., rnsn)
Lemma 6.1. Den direkta summan av godtycklig många ringar är en ny
ring.
Exempel 6.6 (Den direkta summan av Lie algebror). Låt g och g ′
beteckna
två Lie algebror och deras direkta summa är ett vektorrum g ⊗ g ′
bestående
av paren (x, x ′
), x ∈ g, x ′
∈ g ′
med operationen
[(x, x ′
), (y, y ′
)] = ([x, y], [x ′
, y ′
]), x, y ∈ g, x ′
, y ′
∈ g ′
Vi har redan sett att det finns en direkt relation mellan Betti talet och
Eulerkarakteristiken och vi är nu intresserade av att ta reda på om det finns
någon relation mellan de redan introducerade kohomologiringarna av respektive
mångfalder. För att göra en sådan studie måste vi först introducera
ytterligare en formel som har en viktig betydelse inom algebraisk topologi.
107