Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Energins flöde från Solen genom ytan S ⊂ M bestämms genom att integrera
följande 2-form över S
f = E
4π
+
+
x
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3
2
y
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3
2
z
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3
2
dz ∧ dx
dx ∧ dy
dy ∧ dz
Låt oss börja med att beräkna den yttre derivatan av f eftersom resultatet
av denna beräkning kommer att hjälpa oss tolka resultatet av integrationen
av f. Vi omskriver nämnaren för att förenkla beräkningar:
r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1
2
Vilket medför att den differentiella formen blir:
f = E x
4π ( r3 dy ∧ dz + y
r3 dz ∧ dx + z
r3 dx ∧ dy)
Vi beräknar den yttre derivatan och använder oss av följande egenskaper av
differentiella former
d (ϕ dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ) =
d(ω + ψ) = dω + dψ
j=1
n ∂ϕ
dxj ∧ (dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik )
∂xj
Vi applicerar de ovanstående relationerna på f och får
df = 1
r6
r 3
2 ∂r
− 3xr dx ∧ dy ∧ dz+
∂x
+ 1
r6
r 3
2 ∂r
− 3yr dy ∧ dz ∧ dx+
∂y
+ 1
r6
r 3
2 ∂r
− 3zr dz ∧ dx ∧ dy+
∂z
= 1
r6 3 2 3 2 3 2
r − 3x r + r − 3y r + r − 3z r dx ∧ dy ∧ dz
= 0,
där följande relationerna användes
∂r
∂x
= x
r ,
∂r
∂y
= y
r ,
100
∂r
∂z
= z
r