Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

för godtyckliga vektorer U, V i p. g kallas då en pseudo-Riemannmetrik.
Vi definierar nu den inre produkten < U, V >= gp(U, V ) där U, V ∈ TpM.
För en godtycklig karta i en mångfald M med koordinaterna {x µ } kan vi
skriva metriken på följande sätt:
gp = gµν(p)dx µ ⊗ dx ν
(7.4)
där gµν kan betraktas som en matris. Även inversen g µν kommer att dyka
upp i våra formler nedan. Ytterligare en form för metriken fås genom att ta
inre produkten av infinitesimala förflyttningar i basvektorriktningarna { ∂
∂x µ }
som i avsnittet ’Flöden och Liederivatan’. Detta skrivs:
ds 2 µ ∂ ∂
= g(dx , dxν
∂x µ ∂xν ) = gµνdx µ dx ν
(7.5)
I likhet med Nakahara [1] kommer vi också att kalla detta objekt för en
metrik trots att det inte är ett tensorfält.
7.1.1 Inledande exempel på metriker
Den enklaste metriken av alla är den Euklidiska metriken, vars komponenter
ges av δµν. Detta är en Riemannmetrik. Alla Riemannmetriker kan diagonaliseras
och skalas om för att ge den Euklidiska metriken.
⎛
(δ)µν = ⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ (7.6)
Det andra enkla exemplet på en metrik är Minkowskimetriken, känd från
speciell relativitetsteori. Den betecknas η och skrivs i matrisform med 3
rumsdimensioner och en tidsdimension:
(η)µν =
⎛
⎜
⎝
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
(7.7)
Denna är ett specialfall av metrikerna med ett negativt reellt egenvärde
och övriga egenvärden positiva reella. Dessa metriker kalla Lorentzmetriker
och kan med lämpligt val av transformation omvandlas till Minkowskimetriken.
Många författare skriver denna metrik med omvända tecken jämfört
med oss och Nakahara [1]. I denna metrik kan som nämnts skalärprodukten
bli negativ. Detta är precis vad vi väntar oss utifrån den speciella relativitetsteorin.
Vektorer klassificeras där som rumslika, ljuslika eller tidslika
beroende på om beloppet är positivt, noll, eller negativt.
Många av de metriker vi behandlar är, med ett lämpligt val av koordinater,
diagonala metriker med den allmänna formen nedan.
110