Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vi övergår nu till att arbeta med vektorrummen V med basen {∂/∂x 1 ...∂/∂x m },
samt dualrummet V ∗ med basen {dx1...dxm} där en tensor T r är uttryckt i
basenenligt ovan.
T r = T µ1...µrdxµ1 ⊗ ... ⊗ dxµr
(5.129)
vilken verkar multilinjärt: T r (1...r) → R
Detta kan utvigdas ytterligare för att gälla även produktrummet över duala
vektorrum.
V ∗ ⊗ .. ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ ... ⊗ V (5.130)
med den självförklarande beteckningen q p
⊗V ∗ ⊗ V .
Vi vet att en tensor T r är en multilinjär avbildning på produktrummet V ⊗
V ⊗...⊗V → R, dvs T r (1 ⊗2..⊗r) → R. Om vi har basen {1, ...r} i V
så har det duala vektorrumet V ∗ den duala basen {1 , ..r } och som vanligt
gäller att i (j) = δi j . Vi skriver två viktiga samband:
i = j ()j, ∈ V
ii = (i) i , ∈ V ∗
för vilka symmetrin direkt bygger på (5.126). Då T r är linjär på varje plats i
V ⊗ ... ⊗ V kan man utveckla T r i ⊗-produkter av ovanstående basvektorer
i och motsvarande för det duala vektorrummet V ∗
5.4.4 Differentialformer och kilprodukter uttryckta i baser
som tensorer
Innan vi går in på tensorformerna behöver vi ett par användbara konstrutioner
i form av symmetriska och antisymmetriska tensorer.
Symmetriska och antisymmertriska operatorer
På en tensor av typ w ∈ T 0 r (M) kan man utföra en permutation med hjälp av
en permutationsoperator P ; P w(V1, V2, .., Vr) = w(V P (1), .., V P (r)). För
en allmän tensor av typ (q, r) utför man permutationer på q- och r-index var
för sig. För differentialformer behöver vi två användbara konstruktioner för
en tensor w ∈ T 0 r . Av en godtycklig w bildar vi en helt symmetrisk tensor
med hjälp av operatorn S på w:
Sw = 1
r!
P ∈Sr
P w (5.131)
där summan är tagen över alla permutationer Sr av r element. Det är inte
svårt att se att en godtycklig permutation på w, P ′ w ger
SP ′ w = 1
P (P
r!
′ w) = 1
P
r!
′′ w = 1
P w (5.132)
r!
P ∈Sr
P ′′ ∈Sr
71
P ∈Sr