Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Där ε och p eventuellt kan vara funktioner av tiden t.
Utifrån dessa resultat kan vi nu ta fram formen av Einsteins fältekvationer
för Robertson-Walker metriken. Det gäller alltså att förenkla
Rµν − 1
2 gµνR = 8πGTµν. (8.13)
Där gµν ges av (8.11) och Tµν av (8.12).
För att ta fram Riccitensorns komponenter kontraherar vi indexen i formeln
för Riemanntensorns komponenter för att få
Rµν = R λ µλν = ∂λΓ λ µν − ∂νΓ λ µλ + Γη µνΓ λ ηλ
− Γη
µλ Γλ ην
(8.14)
Vi använder oss av Levi-Civita-konnektionen varpå konnektionskoefficienterna
ges av Christoffelsymbolerna
Γ λ
λ
µν = =
µν
1
2 gλη (∂µgνη + ∂νgµη − ∂ηgµν) (8.15)
Det framgår direkt ur ekvationen ovan (och ur definitionen av Levi-
Civita-konnektionen) att Γλ µν = Γλ νµ, vi har alltså 4+2−1
2 · 4 = 40 stycken
konnektionskoefficienter att beräkna. Flera av dessa blir dock noll, till
exempel blir koeffecienten noll om alla index är olika eftersom metriken är
diagonal. Det är 13 + 6 (pga. symmetrien) koefficienter som inte blir noll:
Γ 0 11 =
˙
AA
1 − kr 2 , Γ0 22 = ˙
AAr 2 , Γ 0 33 = ˙
AAr 2 sin 2 θ
Γ 1 11 = rk
1 − kr2 , Γ122 = −r(1 − kr 2 ), Γ 1 33 = −r(1 − kr 2 ) sin 2 θ
Γ 2 12 = Γ 3 13 = 1
r , Γ233 = − sin θ cos θ, Γ 3 23 = cot θ
Γ 1 01 = Γ 2 02 = Γ 3 03 = ˙ A
A
För tydlighetens skull visar vi hur en sådan koefficient beräknas, de andra
beräknas analogt. Vi använder ekvation (8.15) och beräknar Γ1 22 . Läsaren
bör dra sig till minnes vad indexen står för, x µ = (t, r, θ, φ), dessutom så är
metriken diagonaliserad och dess koefficienter ges av (8.11). Summationskon-
ventionen måste naturligtvis beaktas. Γ 1 22
= 1
2 g1η (∂2g2η + ∂2g2η − ∂ηg22) =
1
2 g11 (−∂rg22). Kom ihåg att gµνg νλ = δ λ µ, vilket innebär att g 11 = − 1−kr2
A 2
och alltså har vi Γ 1 22
= 1
2
(− 1−kr2
A 2 )(−∂r(−A 2 r 2 )) = −r(1 − kr 2 ).
Nästa steg är att använda ekvation (8.14) för att beräkna Riccitensorns
koefficienter Rµν. Dessa beräkningar förenklas avsevärt genom att inse att
koefficienterna är noll så fort µ = ν, något som följer av vårt krav på isotropi.
Vi måste alltså bara beräkna fyra koefficienter. Den första är R00 = ∂λΓ λ 00 −
139