Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Innehåll I Förkunskaper 9 1 Grupper 10 1.1 Begreppet grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Viktiga begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Isomorfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Homomorfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Cykliska grupper och generatorer . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Sidoklasser och kvotgrupper . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Fundamentala homomorfisatsen . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Fysikaliskt viktiga grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Heltalsgrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Permutationsgrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Matrisgrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Avslutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Tensorer 16 2.1 Tensorer och tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Fler tensordefinitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Lite kort om typer samt manipulationer av tensorer . . . . . . 21 2.3.1 Manipulationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Topologi 23 3.1 Grundläggande topologiska begrepp . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1 Topologiska rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.2 Homeomorfismer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.3 Topologiska invarianter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Några viktiga ytor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 II Huvuddel 30 4 Homologi 31 4.1 Eulerkarakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.2 Homologigruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.3 Sätt att beräkna homologigrupperna på olika kroppar 39 5 Mångfalder 41 5.1 Avbildningar mellan mångfalder . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1.1 Differentierbara avbildningar och diffeomorfism . . . . 43 5.2 Vektorer, tangentvektorer och tangentplan . . . . . . . . . . . 44 5.2.1 Tangentplan: Vektorrum . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.2 Kurvor och funktioner i mångfalden . . . . . . . . . . 46 5.2.3 Duala vektorrum och enformer . . . . . . . . . . . . . 49 5.2.4 Vektorer och vektorfält . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.5 Tensorfält . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.6 Inducerade avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3 Flöden och Liederivatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3.1 Regler och samband för Liederivatan . . . . . . . . . . 59 5.3.2 Geometrisk tolkning av Liederivatan . . . . . . . . . . 62 5.4 Differentialformer och integration av mångfalder . . . . . . . . 64 5.4.1 Inledning till differentialformer . . . . . . . . . . . . . 64 5.4.2 Randen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4.3 Differentialformer och kilprodukter: Allmänna definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4.4 Differentialformer och kilprodukter uttryckta i baser som tensorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4.5 Kilprodukt och differentialformer på basform . . . . . 72 5.4.6 Intern derivata och Lie-derivatan på former . . . . . . 76 5.4.7 Integration av differentialformer . . . . . . . . . . . . . 78 5.5 Liegrupper och Liealgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5.1 Allmänn definition av en Liealgebra . . . . . . . . . . 81 5.5.2 Enparameter delgrupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.5.3 Liegruppernas verkan på mångfalder. . . . . . . . . . . 90 6 De Rham kohomologigrupper 94 6.1 De Rham Kohomologigrupper och integraler på mångfalder . 94 6.1.1 Stokes sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.1.2 Sluten och exakt form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.1.3 Poincarés lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.2 Exempel på integration av r-former. . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3 Dualitet mellan homologi och kohomologigrupper-de Rhams teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3.1 Poincarés dualitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.4 De Rham kohomologigrupper och deras struktur. . . . . . . . 106 6.4.1 Kohomologiringar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.4.2 Künneths formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4
Page 1 and 2: Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4: Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5: R De reella talen C De komplexa tal
Page 9 and 10: B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92:
• exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94:
Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106:
Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108:
Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110:
6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?