Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Och eftersom eν/fγ = ∂y γ /∂x ν kan vi göra följande omskriving: ∂2xν ∂yα∂y β ∂yγ ∂xλ + ∂xν ∂yα ∂x µ ∂yβ ∂yγ ∂xν Γν λµ = Γγ αβ + tγ αβ (7.13) Och nu föregås konnektionskoefficienten i vänsterledet av precis de koordinatbyten som låter oss förkorta bort Γ-termerna ur ekvationen och få: ∂2xν ∂yα∂y β ∂yγ = tγ ∂xν αβ (7.14) Vilket är ett (1, 2)-tensorfält på varje sida, varav det ena är godtyckligt valt av oss och det andra väljs så att ekvationen uppfylls genom att hitta en motsvarande koordinattransformation. Det finns alltså för varje (1, 2)tensorfält ett motsvarande koordinatbyte som transformerar konnektionsko- efficienterna genom addition av tensorfältet. Om vi väljer t γ αβ = −Kκ µν får vi precis Levi-Civita-konnektionen. I ekvationerna ovan är symmetrin i α, β tydlig. 7.5.1 Geodeter Geodeter får en ny, fysikaliskt viktig betydelse med Levi-Civita-konnektionen. De blir nu även ett lokalt minima för längden av de möjliga kurvorna mellan två punkter, inte bara de rakaste möjliga linjerna. 7.6 Riemanns kurvaturtensor Vi kommer hädanefter alltid att anta att vår konnektion är Levi-Civitakonnektionen. Om vi har en mångfald vill vi kunna uttala oss om hur krökt denna mångfald är. Exempelvis är jorden krökt, men mindre krökt än ett bowlingklot. Så vad betyder krökning? Vi säger att ju mindre något lokalt kring en punkt liknar ett euklidiskt rum, desto mer krökt är mångfalden i den punkten. Hur kan vi tolka detta matematiskt? Först betyder detta att vi kommer få fram någon typ av fält, skalär-, vektor- eller tensorfält. Detta för att vi vill ha någon typ av funktion som är definierad i varje punkt. Vad mer kan vi härleda enbart utifrån vår tanke på krökning ovan? Vi vill på något sätt undersöka hur avstånden mellan två punkter förhåller sig gentemot hur det avståndet hade varit på en platt (euklidisk) yta. Vi kommer att ha ett fält som behandlar metriken. Vi kommer med andra ord att få ett tensorfält och nu med detta som inledning följer här definitionen av Kurvaturtensorn. 117
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5 R(X, Y )Z definieras enligt: R(X, Y )Z ≡ ∇X∇Y Z − ∇Y ∇XZ − ∇ [X,Y ]Z Vad Kurvaturtensorn mäter är hur en vektor (Z här ovan) förändras om den flyttas längs en sluten infinitesimal kurva, vilket formellt kan ses som: Om vi har två kommuterande vektorfält X och Y , och flyttar vektorn Z ∈ Tx0M ∆t tid längs fältet X’s flöde och sedan ∆t tid längs Y ’s flöde, och sedan lika lång tid i −X’s flöde och till slut −Y ’s flöde, så kommer vi tillbaka till samma punkt (vi antar här att fälten kommuterar). Då mäter R(X, Y )Z hur Z har förändrats vid denna flytt. Vi vill kunna behandla detta helt generellt, och därmed måste vi försöka undvika kravet på att fälten X och Y ska kommutera. Detta innebär att vi även behöver transportera Z längs kommutatorn [X, Y ] för att komma tillbaka till samma punkt. Kurvaturtensorn (en (1, 3)-tensor) tar in tre vektorer, två för riktningar och en som ska utvärderas, och den ger ut en vektor. Vektorn som ges ut ger ett mått på hur mycket den utvärderade vektorn ändras i en förflyttning i ett infinitesimalt parallellogram av de två andra vektorernas. När vi nu har fått lite förståelse för hur kurvaturtensorn fungerar, skall vi undersöka vilka matematiska samband vi kan härleda utifrån detta. Vi börjar med några enklare sådana Sats 7.2. • R(X, Y ) = −R(Y, X) • 〈R(X, Y )Z, W 〉 = −〈R(X, Y )W, Z〉 Den första av de två inses genom antisymmetri, den andra genom Liealgebran. Dessa två kan kan kombineras för att ge Sats 7.3 (Bianchi identiteterna). . [R(X, Y )Z, W ] = [R(Z, W )X, Y ] • R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0 • (∇XR)(Y, Z)V + (∇Y R)(Z, X)V + (∇ZR)(X, Y )V = 0 Vi kommer inte att bevisa någon av dessa identiteter 6 , utan kommer istället att ge bevisidé för första identiteten: 5 Ibland skiljer man på Riemanns kurvaturtensor och Kurvaturtensorn, där den förstnämnda är (0,4)-tensorn skapad genom att använda metriken på den sistnämnda, i enlighet med Manipulationer i 2 6 För formell behandling av identiterna samt bevis se s. 269 i [1] 118
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?