Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Definition 5.8 (Integralkurva). Låt M vara en mångfald och ˜ X ∈ X(M)
vara ett vektorfält på M. En integralkurva genom p ∈ M är en kurva
genom punkten p sådan att c ′ (t) = ˜ X(c(t)), ∀t ∈ Iab. Speciellt är c(0) = p.
Vidare gäller det att uttrycka en integralkurva i ett lokalt koordinatsystem.
Antag att dimM = m och inför ett lokalt koordinatsystem på en
karta(U, ϕ), p ∈ U:
Vi kan nu skriva kurvan c(t):
och uttrycka i basvektorerna
ϕ(p) → ∈ R m
(5.42)
c(t) → (x 1 (t), ..., x m (t)) = (t) (5.43)
p → c(0) → (x 1 0, .., x m 0 ) = 0
(5.44)
{µ} = {∂/∂x µ } dvs (5.45)
˜X = ˜ X 11 + ... + ˜ X mm = ˜ X µ µ
(5.46)
Observera att varje komponent ˜ X µ i allmänhet är en funktion av (x 1 , .., x m ).
Vi skriver
˜X = X µ (x 1 (t), .., x m (t))µ
(5.47)
men vi ser att själva ˜ X är oberoende at t. Vi kan nu skriva en integralkurva
på ett mer användbart sätt:
och på komponentform
c ′ (t) = ˜ X(c(t)) (5.48)
dx 1 (t)
dt = ˜ X 1 (x 1 (t), . ., x m (t))
. .
. .
. .
dx m (t)
dt = ˜ X m (x 1 (t), . ., x m (t)) (5.49)
(5.50)
Detta är som känt ett system av ordinära differentialekvationer vilket har
en entydig lösning med 0 = (0) som begynnelsevillkor. En uppsättning av
sådana integralkurvor för olika begynnelsevillkor dvs genom olika punkter
0 kallas för ett flöde och betecknas σ(t, 0). Ovanstående ekvationssystem
kan skrivas kortfattat som
dx µ
dt = ˜ X µ ((t)) (5.51)
56