Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

1.3.3 Matrisgrupper Matrismängder kan bilda grupper under matrismultiplikation men generellt måste determinanten vara skilld ifrån noll för att det ska finnas inverser till alla element. GL(n, R) och GL(n, C) betecknar grupperna av n × n-matriser med nollskild determinant och med reella respektive komplexa element. GL står för General Linear. En annan användbar matrisgrupp är SL(n, R) och SL(n, C) där SL står för Special Linear vilka är grupperna av matriser med determinant lika med ett. Den ortogonala gruppen O(n, K) är gruppen av ortogonala n × nmatriser med element ur kroppen 3 K. Analogt med GL och SL kan man definiera den speciella ortogonala gruppen SO(n, K) som är de element i motsvarande ortogonala grupp som har determinanten ett. I fallet n = 3, K = R representerar dessa grupper symmetrioperationer på sfären, respektive rotationer av sfären. En generalisering av de ortogonala grupperna är den unitära gruppen vilket är gruppen av alla n × n-matriser som lämnar längden av en komplex vektor invariant. Denna egenskap är ekvivalent med att konjugatet av transponatet är lika med inversen. Vi har precis som tidigare en SU(n, C) där alla element har determinanten ett och en U(n, C) där determinanten är skild från noll. 1.4 Avslutning Detta kapitel har presenterat de begrepp ur gruppteori som är oumbärliga för den fortsatta texten. För läroböcker i gruppteori hänvisar vi till det inledande häftet av Brzezinski[5], den mer omfattande boken av Durbin[2] och den avancerade boken av Simon[3]. 3 Begreppet kropp inkluderar de reella talen R och de komplexa talen C samt en mängd andra strukturer, begreppet förklaras i appendix B 15
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av den moderna fysiken formuleras med tensorer, dessa gör notationen betydligt mer kompakt och är en naturlig fortsättning på begrepp vi redan känner till. Innan vi börjar med definitioner och formella tolkningar, låt oss betrakta några exempel på tensorer för att få en känsla för vad det handlar om. Lägg märke till att varje tensor specifieras med två tal (k, l). Här kommer några exempel: • En (0, 0)-tensor är en skalär, dvs ett element i en kropp. • En (1, 0)-tensor är en vektor. • En (2, 0)-tensor är en bivektor, dvs ett geometriskt objekt som är skilt från vektorer och skalärer, och bivektorn av två vektorer a, b har samma absolutbelopp som arean av parallellogrammet som spänns upp av de två vektorerna. • En (0, 1)-tensor är en linjär funktional, även kallad kovektor. • En (0, N)-tensor är en determinant. • En (1, 2)-tensor är en kryssprodukt. • En (1, 1)-tensor är en linjär avbildning. Det framgår här att en (0, k)-tensor är något som ’omvandlar’ k stycken vektorer till en skalär. De exempel som tagits upp är också linjära i varje argument, och vi kan nu försöka konkretisera vad en (0, k)-tensor egentligen är: En (0, k)-tensor är en funktion som är linjär i varje argument och är definierad mellan 1 V k och R. 1 V k = V × V × ... × V , k gånger 16
Page 1 and 2: Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4: Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6: R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8: 4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10: B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92:
• exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94:
Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106:
Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108:
Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110:
6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?