Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

∗f = E
4π (
+
+
x
(x2 + y2 + z2 dy ∧ dz +
) 3/2
x
(x 2 + y 2 + z 2 )
y
(x2 + y2 + z2 dy +
) 3/2
E
dx ∧ dy) =
3/2 4π (
y
(x2 + y2 + z2 dz ∧ dx
) 3/2
x
(x2 + y2 + z2 dx
) 3/2
z
(x2 + y2 + z2 E
dz =
) 3/2 π
Denna beräkning visar att det är en punktkälla som befinner sig intui i
sfären.
6.3 Dualitet mellan homologi och kohomologigrupperde
Rhams teorem
Kohomologi beskrivs av en sekvens av abeliska grupper som tillsammans med
en operator bygger upp ett så kallat kokedjekomplex. Ett kokedjekomplex
är en allmän struktur som existerar för många olika abelska grupper och
operatorer. I fallet kohomologi, så utgörs de abelska grupperna av vektorrummet
av r-former på Ω r (M) och operatorn är den externa derivatan d r .
Kokedjekomplexet (Ω r , d r ) utgörs då av:
ˆr
r 2
Ω 0 d 0
−→ Ω 1 d 1
−→ Ω 2 d 2
−→ Ω 3 d 3
−→ . . . (6.3)
De abelska grupperna Ω r länkas alltså samman via en homomorfism som ges
av den externa derivatan
d r : Ω r −→ Ω r+1
dessutom så är sammansättningen av två följande avbildningar noll.
(6.4)
d n+1 d n = 0 (6.5)
Låt oss nu fortsätta med att definiera de Rham-kohomologigrupperna,
vilka visar sig vara tätt sammanknutna med de vanliga homologigrupperna
på en mångfald. Detta trots att de ytligt verkar vara vitt skilda objekt.
Definition 6.4 (de Rham kohomologigrupp). Låt M vara m-dimensionell
mångfald. Mängden av slutna r-former kallas r-te kocykelgruppen-Z r (M)
och mängden av exakta r-former kallas r-te korandgruppen-B r (M). Båda
grupperna är vektorrum med reella koefficienter. Den r-te de Rham kohomologigruppen
defineras som
H r (M; R) ≡ Z r (M)/B r (M) = kerd+1
. (6.6)
imd
103