Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Ett element i kohomologigruppen består alltså av ekvivalensklasserna av
slutna r-former som bara skiljer sig med en exakt form.
Exempel 6.5 (Beräkning av den 0-te och den första kohomologigruppen).
Låt oss studera tallinjen, det vill säga sätt vår mångfald till de reella talen,
M = R. Vi har då komplexet:
0 d
−→ Ω 0 d
−→ Ω 1 d
−→ 0 (6.7)
Vi behöver beräkna nollte kocykelgruppen samt korandgruppen för att
ta fram nollte kohomologigruppen. Nollte kocykelgruppen är alla slutna 0former
på M vars yttre derivata är noll. Detta gäller godtycklig konstant,
vilket betyder att Z 0 (R) = R. Låt oss nu kolla på korandgruppen. Nollte
korandgruppen är alla 0-former som har primitiv funktion. Vi ser på vårt
komplex ovan att denna grupp måste vara 0, eftersom primitiva funktionen
till en 0-form skulle vara en (-1)-form, B 0 (R) = 0. Detta tillsammans ger att
H 0 (R) = R.
För att beräkna den första kohomologigruppen observerar vi till att börja
med att varje 1-form måste vara sluten ty det finns inga 2-former på R,
Z 1 (R) = Ω 1 (R). Vi lutar oss på ett välkänt resultat från envariabelanalys då
vi ska studera vilka former som har primitiv funktion. Låt g(x)dx vara en
1-form, och skapa 0-formen f genom integralen:
f(x) =
x
0
g(x)dx
Detta betyder att df = g(x)dx och alltså är g(x)dx exakt. Lägg märke
till att vi inte behöver göra några inskränkningar på vår 1-form g(x)dx för
att säga detta, och därför är varje 1-form på de reella talen exakt, B 1 (R) =
Ω 1 (R). Första kohomologigruppen blir noll, och vi ser av komplexet att detta
gäller alla kohomologigrupper som inte är nollte, H r (R) = 0 r ∈ {2, 3, 4, ...}.
I kapitel 2 har vi definerat ett vektorrum och associerat med det duala
vektorrummet. Vi vill nu visa en viktig relation mellan homologi och kohomologigrupper.
Vi börjar att definera en inre produkt av en r-form och
en r-kedja. Vidare låter vi M vara en m-dimensionell mångfald. Låt nu
ω ∈ Ωr (M) och c ∈ Cr(M) där 1 ≤ r ≤ m och definera en inre produkt
mellan dem ( , ): Cr(M) × Ωr (M) → R genom att skriva
c, ω ↦→ (c, ω) ≡ ω. (6.8)
Den inre produkten är alltså integralen av r-formen ω över kurvan c. Notera
att med hjälp av Stokes sats kan den inre produkten skrivas på en kompakt
form:
(c, dω) = (∂c, ω) (6.9)
104
c