Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Nu har vi fått
W µ ∂/∂y µ [g ◦ ψ −1 (y)] = V µ ∂/∂x µ [g ◦ f ◦ ϕ −1 (x)]. (5.34)
Observera att g ◦ ψ −1 (y) betyder g uttryckt i koordinater. g kan vi välja
hur vi vill och vi väljer den nu till att vara just en av y’s koordinater, säg
g = y α , vilket ger
V.L: W α ∂y α /∂y α = W α
H.L: V µ ∂y α /∂x µ
Notera att ∂yα
∂x µ är en Jakobian.
Pullback
⇔ W α = V µ ∂yα (x)
∂x µ
(5.35)
(5.36)
En generell teknik som är användbar vid två avbildningar f → g → R,
och är här vektorrum och f och g linjära avbildningar. Låt g : → R
vara en linjär funktion på , det vill säga g ∈ ∗ . Då både f och g linjära,
blir även sammansättningen g ◦ f en linjär funktion på (g ◦ f ∈ ∗ )
och vi kallar den h = g ◦ f. Men andra ord: givet en funktion g ∈ ∗
har avbildningen f inducerat en avbildning h ∈ ∗ . Vi har alltså fått en
avbildning
f ∗ : ∗ → ∗ , f ∗ (g) = h (5.37)
h kallas för pullback av g genom f ∗ . Observera riktningarna:
f → g → R (5.38)
∗ ← ∗
(5.39)
(g ◦ f)
5.3 Flöden och Liederivatan
f ∗
← g (5.40)
En kurva genom en punkt p ∈ M definieras som tidigare som en avbildning
från Iab ∈ R:
Iab c → M (5.41)
där 0 ∈ Iab och c(0) = p. Man kan då tillordna varje punkt på kurvan c(t) en
tangentvektor dc(t)
dt = c′ (t). Vi kan nu definiera och studera en kurva som går
”längs” ett vektorfält ˜ X, dvs kurvans tangent pekar hela tiden i vektorfältets
˜X’s riktning.
55