Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

7.9 Hodgeteori
En stor del av den teori som hittills har byggts upp baseras på Ω r (M) 8 ,
vektorrummet av r-former på M. Operationerna kilprodukt, extern produkt,
intern produkt och extern derivata definieras alla på r-former, det vill säga
element i Ω r (M), och när vi integrerar så tar r-former rollen som volymelement.
I detta avsnitt undersöks vektorrummet Ω r (M) närmare, det har
nämligen den intressanta egenskapen att Ω r (M) Ω m−r (M), där m är
mångfaldens dimension. Med hjälp av begreppsapparaten från tidigare avsnitt,
så kan denna isomorfism utnyttjas på ett förvånansvärt produktivt
sätt.
Det är enkelt att visa isomorfism Ω r (M) Ω m−r (M). I kapitel (5),
om mångfalder, så noterade vi att mängden kilprodukten av r en-former,
dx µ1 ∧dx µ2 ∧...∧dx µr , bildar bas i Ω r (M). För ett vektorrum i allmänhet så
gäller att dimensionen är lika med antalet baselement. Hur många baselement
har Ωr
m
(M) då? Vi kan välja r stycken µ ur m stycken totalt på sätt.
r
Med hjälp av ett grundläggande kombinatoriskt samband har vi nu:
dim Ω r
m m
(M) = = = dim Ω
r m − r
m−r (M) (7.42)
Därav följer isomorfin, eftersom vektorrum med samma dimension och samma
skalärer är isomorfa.
7.9.1 Hodgestjärnan
Även om det är lätt att visa isomorfin, så finns det normalt, för en allmän
mångfald, inget bra och entydigt sätt att konstruera isomorfism mellan
H r (M) och H m−r (M) på. Men detta ändrar sig när vi inför en metrik. Vi
har tidigare sett att en metrik g ger oss en isomorfism mellan tangentrummet
TpM och kotangentrummet T ∗ p M av en mångfald, men utöver det så
ger metriken g oss en naturlig 9 isomorfism mellan H r (M) och H m−r (M).
Denna naturliga ismorfism ges av Hodge ∗ operatorn, vilken vi definierar på
följande sätt:
Definition 7.16 (Hodge ∗). Hodge ∗ är en linjär avbildning ∗ : Ω r (M) →
Ω m−r (M) med följande verkan på Ω r (M)’s basvektorer:
∗(dx µ1 ∧dx µ2 ∧...∧dx µr ) =
|det(gµν)|
(m − r)! εµ1µ2...µr
νr+1...νm dxνr+1 ∧...∧dx νm . (7.43)
8 Egentligen Ω r p(M), men vi skriver ofta slarvigt Ω r (M) eller Ω r om punkten och mång-
falden är godtyckliga eller underförstådda.
9 Med naturlig menas här en isomorfism som på ett enkelt sätt, som är naturligt i
viss mening, följer ur mångfaldens struktur som metriken ger upphov till. Begreppet kan
definieras matematisk stringent med kategoriteori, men vi nöjer oss här med en intuitiv
förståelse.
127