Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Kom ihåg att Levi-Civitakonnektionen inte har någon vriding, T (X, Y ) = 0 för alla X, Y . Detta i samband med att inse att ∇Z[X, Y ] kan skrivas om enligt nedan kommer efter formella beräkningar att ge svaret. [Z, [X, Y ]] = ∇Z[X, Y ] − ∇ [X,Y ]Z ⇔ ∇Z[X, Y ] = [Z, [X, Y ]] + ∇ [X,Y ]Z Vi har nu gått igenom några av de matematiska följderna men vi vill även veta hur Kurvaturtensorn ter sig i olika baser eftersom vi då kan se dess verkan på vektorer. Vi kommer därför att avsluta detta avsnitt med att skriva kurvaturtensorns koordinater i en bas. Vi ser kurvaturtensorns verkan på dualbasen d x µ och koordinatbasen eµ. Komponenterna i tensorn kan då skrivas 7 R κ λµν = 〈d xκ , R(eµ, eν)eλ〉 = ∂µΓ κ νλ − ∂νΓ κ µλ 7.6.1 Exempel på Riemanns kurvaturtensor + Γη νλ Γκ µη − Γ η µλ Γκ νη Vi börjar med att härleda den allmänna formen för Riemanntensorn för en fyrdimensionell diagonal metrik med avseende på Levi-Civita-konnektionen. Vidare skall vi tillämpa denna på intressanta specialfall. Det första exemplet följer resonemanget i Rindler, [10] ss 419-421. Exempel 7.3 (4D-Diagonala metrikers Riemanntensor). Metriken vi avser är i matrisform ekvation 7.8, på differentialformen skrivs den: ds = Adx 1 dx 1 + Bdx 2 dx 2 + Cdx 3 dx 3 + Ddx 4 dx 4 (7.15) där koefficienterna är allmänna: A = A(x1 , x2 , x3 , x4 ), B = B(x1 , x2 , x3 , x4 ), C = C(x1 , x2 , x3 , x4 ) och D = D(x1 , x2 , x3 , x4 ). Konnektionen är Levi-Civita och därför ges konnektionskoefficienterna Γ µ νσ av Christoffelsymbolerna { µ νσ}. Vi inför några symboler för att kunna skriva uttrycken på en mer kompakt form: α = 1 1 1 1 2A , β = 2B , γ = 2C , δ = 2D samt följande konvention för derivator: Aµ = ∂A ∂x µ Bµ = ∂B ∂x µ Cµ = ∂C ∂x µ Aµν = ∂2 A ∂x µ x ν Bµν = ∂2 B ∂x µ x ν Cµν = ∂2 C ∂x µ x ν . . . Dµ = ∂D ∂x µ Dµν = ∂2 D ∂x µ x ν . (7.16) (7.17) 7 Genom definitionen av Christoffelsymbolerna. För explicit härledning se s. 255, ekv. (7.42) i [1] 119
Vi börjar med att beräkna konnektionskoefficienterna Γ µ νσ = 1 2 gµλ (∂νgλσ+ ∂σgλν − ∂λgµσ) där en diagonal metrik innebär att summan endast innehåller termen med λ = µ. Vi konstaterar först att då alla tre index är olika kommer koefficienten vara noll, då den endast innehåller metrikens = 0 för alla permutationer av indexen. icke-diagonalelement. Alltså, Γ1 23 Vi tittar sedan på koefficienterna med de två nedre indexen lika: Γ1 22 = 1 2g11 (∂1g12 + ∂2g12 − ∂1g22 = 1 2g11∂1g22 = −αB1. Det är uppenbart att detta följer ett enkelt mönster när man byter 1 och 2 mot övriga index. De koefficienter som är kvar har alla formen Γν νµ och för enkelhetens skull sätter vi index ν till ett och åskådliggör den allmänna formen på dessa koefficienter: Γ1 1 1µ = 2g11 (∂1g1µ + ∂µg11 − ∂1g1µ) = 1 2g11∂µg11 = αAµ. Genom att permutera indexen kan vi nu få alla konnektionskoefficienter. Nu kan vi beräkna Riemanntensorns element Rκ λµν = ∂µΓκ νλ − ∂νΓκ µλ + Γ η νλΓκ µη − Γ η µλΓκνη. Det räcker att beräkna tre element vars index sedan kan permuteras eller manipuleras enligt Riemanntensorns symmetriegenskaper för att ge övriga. = 0. Nästa typiska ele- Om alla index är olika blir elementet noll: R1 234 ment är R1 213 = ∂1Γ1 32 − ∂3Γ1 12 + Γη32Γ11η − Γη12Γ1 3η = 0 − αA23 + γC2αA3 + βB3αA2 + αA2αA3 = −A23 + αA2A3 + βA2B3 + γA3C2. Det tredje typiska elementet är R1 212 = ∂1Γ1 22 − ∂2Γ1 12 + Γη22Γ11η − Γη12Γ12η = −αB11 − αA22 + αB1αA1 + βB2αA2 − γB3αA3 − δB4αA4 + αA2αA2 + βB1αB1 = −A22 − B11 + α(A1B1 + A2 2 ) + β(A2B2 + B2 1 ) − γA3B3 − δA4B4. Sammanfattningsvis har vi följande typiska element: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ R1 234 = 0 R1 213 = −A23 + αA2A3 + βA2B3 + γA3C2 R 1 212 = −A22 − B11 + α(A1B1 + A 2 2 ) + β(A2B2 + B 2 1 ) − γA3B3 − δA4B4 (7.18) 7.7 Holonomi, isometri och Killingvektorfält 7.7.1 Holonomigruppen En vektor i en punkt p som parallellförflyttas längs en sluten kurva tillbaka till p kommer i allmänhet att förändras. Om vi begränsar oss till affina konnektioner på Riemannska mångfalder kan vi definiera en grupp av sådana transformationer av vektorer med avseende på alla slutna kurvor c(t) innehållande p på M. Låt oss ta kurvorna {c(t) : 0 ≤ t ≤ 1, c(0) = c(1) = p} och vektorn X. För en given konnektion kommer varje kurva c ge upphov till en transformation från TpM tillbaka på sig själv. Vi kan nu definiera holonomigruppen. 120
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?