Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

• Kedjegruppen, Cr(M), på en mångfald M, är mängden av alla rkedjor
på mångfalden: Cr(M) = {cr : cr =
i aisr,i}
• Randen till ett r-simplex, ∂sr sätter vi som bilden av randen till vårt
r-simplex i R n : ∂sr = f(∂σr)
• En r-cykel på M är en r-kedja utan rand, ∂cr = 0.
• Randgruppen, Bn(M), på en mångfald M är mängden av alla nrander
på M: Bn(M) = {bn : bn = ∂cn+1}
• Cykelgruppen, Zn, är mängden av alla n-cykler på M: Zn = {cn :
∂cn = 0}
Detta är rakt av en övergång till mångfalder, med definitioner som följer
av vår simplexdefinition. Vi fortsätter med att fördjupa våra kunskaper
inom differentialla former och deras integraler innan vi undersöker de Rham
kohomologigrupperna.
Ett volymelement ω i R r , dvs en r-form skrivs, med a(x) som skalärfunktion:
ω = a(x) d x 1 ∧ d x 2 ∧ ... ∧ d x r
Tolkningen av volymelement är lik den vi har sett från flervariabelanalys,
med a(x) som skalfaktor visar d x 1 ∧ d x 2 ∧ ... ∧ d x r hur mycket a(x) sträcker
ut sig i alla riktningar. Detta bildar alltså en r-dimensionell volym.
Nu definierar vi integralen av r-formen ω över ett standardsimplex ¯σr
genom: 1
¯σr
ω ≡
¯σr
a(x) d x 1 ∧ d x 2 ∧ ... ∧ d x r
Detta är en naturlig men viktig definition för att komma närmare ett sätt
att analytiskt behandla integraler på mångfalder. Högersidan är vår vanliga
flerdimensionella integral. 2
Låt oss nu definiera integration av ω på ett singulärt r-simplex sr i M
genom:
Definition 6.2 (Integration av r-former över ett singulärt r-simplex).
ω = f ∗ ω (6.1)
sr
1 Vi kommer utgå från att läsaren sedan tidigare har maskineriet att integrera generella
funktioner, alltså använder vi oftast Lebesgueintegralen och inte Riemannintegralen. Kom
däremot ihåg att de funktioner som är riemannintegrerbara alltid är lebesgueintegrerbara
samt att då överrensstämmer i båda integralerna.
2 För att integration över en r-form ω ska vara meningsfullt så krävs det att ω har
kompakt stöd på M. Detta betyder att mängden punkter p ∈ M där ω(p) = 0 eller deras
slutna hölje (closure) skall vara kompakt.
95
¯σr