Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

De reella talen uppfyller precis dessa villkor, det går att dela med allt
utom noll. Heltalen saknar däremot multiplikativa inverser för fler element
än noll, och är därmed inte en kropp. Det inses lätt att även de komplexa
talen är en kropp under multiplikation och addition. Vi tittar på ett exempel
på en ny mängd, som är en kropp.
Exempel B.3 (De rationella talen Q). Vi testar egenskaperna av Q under
+ och · i tur och ordning:
• Slutenhet: a c ad+bc a c ac
b + d = bd ∈ Q, b · d = bd ∈ Q.
• Associativitet: a
( a
b
· c
d
) · e
f
b
ace = bdf
+ ( c
d
e a + f ) = ( b
• Kommutativitet: a c c a
b + d = d + b
c e + d ) + f
adf+bcf+bde
= bdf , a c
b · ( d
ad+bc a c c a ac
= bd , b · d = d · b = bd
e · f ) =
• Existens av identiteter: Addition: 0 + a = a + 0 = a, Multiplikation:
1 · a = a · 1 = a
• Existens av inverser: Additiv invers: a
plikativ invers: a −1 b
b = a
a ∀ b
• Distributivitet av · över +: a c
b · ( d
Vi har visat att (Q, +, ·) är en kropp.
b
∈ Q : b = 0
152
−1 = − a
b
e a + f ) = ( b
= −a
b
∀ a
b
c a e · d ) + ( b · f )
∈ Q, multi