Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Ekvation 7.20 blir nu på komponentform med kartesiska koordinater
{p x , p y } och {f(p) x , f(p) y }:
Vilket kan skrivas
∂f(p) α
∂p µ
∂f(p) β
∂p ν gαβ(f(p)) = δµν(p) (7.21)
A(α, µ)A(β, ν)gαβ(f(p)) = δµν(p) (7.22)
Där g är metriken i punkten f(p). Om denna är δ(f(p)) så är f en
isometri. Vi ser att vänsterledet är noll då µ = ν och ett då µ = ν. Vi
sätter µ = ν och undersöker vad som händer för olika α och β. Vi tittar på
A ∈ SO(2):
cos(φ) −sin(φ)
(7.23)
sin(φ) cos(φ)
För α = β och µ = ν får vi en summa av två kancellerande termer
i vänsterledet. Ekvationen blir då ej uppfylld eftersom vi har 0 = 1 Det
betyder att icke-diagonalelementen inte kan bestämmas på detta sätt. För
α = β får vi däremot 2gαβ = 1 ⇔ gαβ = δαβ. Diagonalelementen är alltså
ett.
Nu sätter vi istället µ = ν. För α = β får vi 0 = 0, det vill säga inget
nytt. För α = β får vi 2(cos 2 φ − sin 2 φ)g = δ, vilket kräver att ickediagonalelementen
i g är noll. Därmed har vi visat att g(f(p)) = δ och att
f är en isometri.
7.7.3 Konforma avbildningar
Vi definierar en typ av avbildningar som liknar isometrier men vilka endast
kräver att metriken ska vara bevarad så när som på en skalfaktor e 2σ där
σ ∈ F(M) är en funktion. Denna skalfaktor gör att det finns många av dessa
så kallade konforma avbildningar. Definitionen lyder som följer.
Definition 7.13 (Konform avbildning). Låt f vara en diffeomorfism och M
en Riemannsk eller pseudo-Riemannsk mångfald sådana att f : M → M. Om
f bevarar metriken så när som på en skalfaktor, dvs uppfyller nedanstående
ekvation, kallas den en konform avbildning.
f ∗ g f(p) = e 2σ gp
(7.24)
Konforma avbildningar bevarar inte längder, men de bevarar vinklar mellan
vektorer, vilket är en karakteristisk egenskap hos konforma avbildningar
och kan användas som en alternativ definition . Detta kan vi se genom att
undersöka vad vinkeln avbildas på:
122