Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

cosΘ =
gp(X, Y )
gp(X, X)gp(Y ; Y ) ↦→
e 2σ gp(X, Y )
e 2σ gp(X, X)e 2σ gp(Y ; Y ) =
=
gp(X, Y )
= cosΘ (7.25)
gp(X, X)gp(Y ; Y )
Bevarandet av vinklar gäller dock bara lokalt eftersom en rak linje i
allmänhet inte kommer att avbildas på en rak linje. Konforma avbildningar
skiljer sig alltså ganska mycket från vad vi vanligtvis menar med ’lika så när
som på en skalfaktor’. De konforma avbildningarna på en mångfald M bildar
en grupp med avseende på sammansättning vilken kallas Conf(M). Två
metriker som relateras med skalfaktorn e 2σ sägs vara konformt relaterade,
vilket är en ekvivalensrelation vars ekvivalensklasser kallas den konforma
strukturen på M. Själva avbildningen g → e 2σ g kallas en Weylskalning
och även dessa bildar en grupp, kallad W eyl(M). Det finns ytterligare ett
begrepp som behöver nämnas. Om en mångfald M i varje punkt p har en
karta sådan att gµν = e 2σ δµν så kallas den konformt plan.
Exempel på konforma avbildningar
Exempel 7.5 (Analytiska funktioner). Vi visar här att alla analytiska funktioner
med derivata skild från noll är konforma avbildningar. Vi tar en analytisk
funktion f : C → C. Vi definierar en funktion ˆ f : R 2 → R 2 enligt:
ˆf(x1, x2) = ˆ f(ℜf(x1 + ix2), ℑf(x1 + ix2)) = ˆ f(u(x1, x2), v(x1, x2)) (7.26)
Jacobimatrisen av denna funktion är
J =
∂u
∂x1
∂v
∂x1
∂u
∂x2
∂v
∂x2
(7.27)
Men eftersom f är analytisk kan vi skriva om detta med Cauchy-Riemanns
, och får då:
ekvationer, ∂u
∂x
∂v = ∂y , ∂u
∂y
= − ∂v
∂x
∂u
∂x1 J =
−
∂u
∂x2
∂u
∂x2
∂u
∂x1
= [{ ∂u
,
∂x1
∂u
} = {r cos θ, r sin θ}] = r
∂x2
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
(7.28)
Jacobimatrisen är en ortogonal matris, nu tittar vi på hur två korsande kurvor
transformeras under avbildningen. Låt γ1(t) = (u1(t), v1(t)) och γ2(t) =
(u2(t), v2(t)) vara glatta kurvor och γ1(0) = γ2(0) = z, där z ∈ C är en
godtycklig punkt. Vi stoppar in dessa kurvor i ˆ f och deriverar med avseende
på t.
⎧⎪
∂
⎨ ∂t
⎪⎩
ˆ f(γ1)|t=0 = J(γ1(0)) ∂γ1
∂t (0) = J(x1,
∂u1
x2) ∂t
∂v1
∂dt
∂
∂t
ˆ f(γ2)|t=0 = J(γ2(0)) ∂γ2
∂t (0) = J(x1,
∂u2
x2)
(7.29)
123
∂t
∂v2
∂dt