Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Figur 5.14: Liederivatans motsvarighet till parallellogram att γ f(x′ )dx ′ ger samma resultat efter variabelbytet. Från analysen i R 3 har vi några mer allmänna integralformer (Axdx + Bydy + Czdz) (5.102) en linjeintegral med 1-formen Adx + Bdy + Cdz (A, B och C i allmänhet glatta funktioner i x, y respektive z), samt ytintegraler av typ (Pyzdydz + Qzxdzdx + Rxydxdy) (5.103) Vi kallar Pyzdydz + Qzxdzdx + Rxydxdy för en 2-form. I R 3 har vi slutligen volymintegralen Gxyzdxdydz (5.104) med 3-formen Gxyzdxdydz. Man kan lite förenklat betrakta {dx, dy, dz} som en bas för en 1-form och analogt {dydz, dzdx, dxdy} som basen för en 2-form samt {dxdydz} som basen för en 3-form i R 3 . Dimensionen för dessa baser är 3 = 3, 1 3 = 3 respektive 2 65 3 = 1 (5.105) 3
Vi vet också att dessa integraler är över orienterbara områden: en kurva har två riktningar, en yta är orienterbar etc. Vi har även kända samband mellan integraler, såsom Stokes sats (2 dimensioner): ∂S (Axdx + Bydy) = S ∂By ∂x ∂Ax − dxdy. (5.106) ∂y Vår önskan är att finna motsvarigheter till sådana samband i högre dimensioner som dessutom går att använda för allmänna mångfalder. Innan vi går vidare kan vi försöka gissa oss till några egenskaper som borde ingå generaliseringen. Vi studerar ovanstående integraler: Produkten av typ dxdx förekommer inte vilket indikerar att dxdx = 0. Detta i sin tur gäller för produkter som är antisymmetriska, dvs vi kan förvänta oss en definition av en produkt i stil med dx · dy = −dy · dx. Man skulle till exempel kunna skriva som ∂B ∂x ∂By ∂x − ∂Ax ∂y dxdy (5.107) Adx · dy + A∂B dy · dx. (5.108) ∂y För att gå händelserna lite i förväg kommer vi att kalla en sådan produkt för en kil-produkt och teckna den som dx ∧ dy = −dy ∧ dx. (5.109) Slutligen vill vi kunna definiera en invers till integralen, dvs en differentiering bör att kunna få en motsvarighet bland annat till differential/integralkalkylens teorem b a df(x) dx = f(b) − f(a) (5.110) dx där {a, b} är randen till en kurva mellan a och b. Vi kommer att få se en generalisering av detta på formen dw = w (5.111) där w betecknar en så kallad r-form. 5.4.2 Randen R Innan vi går närmare in på dessa så kallade r-former och integration av sådana behöver vi definiera en rand på en mångfald. I ett senare avsnitt kommer vi att se att en r-form w på en orienterbar mångfald ger upphov till den allmänna Stokes satsen. 66 ∂R
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?