Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vi ser direkt att denna tensor är antisymmetrisk: den växlar tecken för
varje ombyte av plats mellan två dx i .
Låt oss återgå till att uttrycka den allmänna tensorn i produktformen:
T r = [Tµ1...µrdx µ1 ⊗ ... ⊗ dx µr ] (5.137)
Vi omvandlar nu denna till en antisymmetrisk form med hjälp av operatorn
A
AT r = 1
(sgn P )P T
r!
r
(5.138)
P ∈S r
Notera att om den redan är antisymmetrisk får vi tillbaka T r vilket vi såg
ovan. Sätt AT r = w
AT = w = 1
(sgn P )P (wµ1...µrdx
r!
µ1 µr ⊗ ... ⊗ dx ) =
P ∈S r
= 1
r! wµ1...µr dx µ1 ∧ ... ∧ dx µr (5.139)
där vi har satt in uttrycket för kilprodukten. Detta är en definition av den
allmänna r-formen w(1)..r som alltså är antisymmetrisk.
Vi skall nu bilda kilprodukten mellan två differentialformer: en q-form w ∈
Ω q (M) och en r-form ξ ∈ Ω r (M). Denna produkt kallas också extern pro-
dukt.
w ∧ ξ(v1, v2, ...vq+r) = 1
q!r!
P ∈Sq+r
sgn (P ) w(v p(1)...v p(q))ξ(v p(q+1)...v p(q+r))
(5.140)
Observera här att från början är permutationer mellan w:s och ξ·s vektorer
ej blandade. För varje val av q första vj finns det q! permutationer för w att
verka på samt r! för ξ. Här av får vi faktorn (r!q!) −1 . Man kan även skriva
(5.140) med hjälp av den antisymmetriska operatorn:
w ∧ ξ =
(q + r)!
A(w ⊗ ξ) (5.141)
q!r!
Vi skriver nu den formella definitionen av den externa produkten i en
bas {dx 1 , ..., dx n }
Definition 5.10 (Extern produkt). w ∧ξ = 1
q!r! w µ 1 ...µ qξ µ q+1 ...µ q+rdxµ1 ∧...∧
dx µq+r
Vi har tre användbara samband för kilprodukten:
i ξ ∧ ξ = 0
ii ξ ∧ η = (−1) qr η ∧ ξ
iii (ξ ∧ η) ∧ w = ξ ∧ (η ∧ w)
73