Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

5.5 Liegrupper och Liealgebra
Om punkterna på en differentierbar mångfald bildar element i en grupp
kallas mångfalden en liegrupp. Ett känt exempel är mångfalden R \ {0}
där gruppoperationen är vanlig multiplikation: två element x, y ∈ R \ {0}
bildar ett tredje x ˙y = z = 0. Viktigt är att om man tar två tal, ett nära
x och det andra nära y kommer produkten vara nära z. Vidare ser vi att
enhetselementet är 1 samt att varje x har en invers x −1
En liegrupp G är en differentierbar mångfald med en gruppstruktur sådan att
gruppoperationerna är differentierbara. Gruppoperationerna på en liegrupp
betecknas
i · : G · G → G, (g1, g2) → g1 · g2
ii −1 : G → G, g → g −1
Enhetselementet till gruppen betecknas e. Dimensionen av gruppen G
är densamma som dimensionen av G som mångfald. Som brukligt förkortas
ofta g1 · g2 med g1g2. Om produkten g1g2 är kommutativ betecknas oftast
produkten med + istället, i enlighet med konventioner inom gruppteori.
Exempel på Liegrupper
1. Enhetscirkeln S 1 i det komplexa talplanet. S 1 = {e iθ | θ(mod2π)}
Gruppoperationerna är definierade med:
i · : e iθ e iϕ = e i(θ+ϕ)
ii −1 : (e iθ ) −1 = e −iθ
Lägg märke till att operationerna är differentierbara. Därmed är S 1 en
liegrupp och vi kallar den U(1)
2. Den generella linjära gruppen GL(n, R) eller GL(n, C) är en liegrupp
vilket också gäller för dess undergrupper, ofta kallade matrisgrupper.
Gruppoperationerna är vanlig matrismultiplikation och matrisinvers,
och GL(n, R) har dimension n 2 .
Speciellt viktiga liegrupper för fysikaliska tillämpningar är matrisgrupper,
ur vilka de mest använda använda är:
1. O(n) = {M ∈ GL(n, R), MM T = M T M = In} som kallas den ortogonala
gruppen. Namnet kommer ifrån att raderna och kolonnerna i
M bildar ortogonala vektorer med avseende på inre produkt.
2. SL(n, R) = {M ∈ GL(n, R)|detM = 1}. Denna kallas den speciella
linjära gruppen.
80