Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

delmängder av R, annars går det alltid att ta ett oändligt snitt så att vi får ett element som inte är del av topologin. Den vanliga topologin skulle bli till den diskreta och då få andra egenskaper än de vi vill. Topologiska rum är allmänna och därför vill vi ofta introducera ytterligare strukturer i rummet Detta är något som vi gör efterhand. I kapitlet “Mångfalder” (kapitel 5) kommer vi att kräva att det topologiska rummet har en viss struktur som lokalt ser ut som R m , och dessutom att övergången mellan dessa lokala strukturer är glatt. Vi får en struktur - en differentierbar mångfald - som tillåter att vi generaliserar många begrepp från analysen, som integraler och derivator. I avsnittet “Riemanngeometri” (kapitel 7) lägger vi till ännu en struktur, en typ av avståndsfunktion kallad metrik, vilken tillåter oss att definiera avståndsrelaterade begrepp som till exempel längd. Topologiska rum i sig innehåller dock redan tillräckligt mycket struktur för att vi skall kunna tala om ’rumsliga’ begrepp som närhet, kontinuitet, kompakthet och att rummen är sammanhängande. Med definitionen av det topologiska rummet är det nu möjligt att ge en allmän definition av kontinuitet. Definition 3.3 (Kontinuitet). En avbildning f från det topologiska rummet (X, TX) till det topologiska rummet (Y, TY ) kallas kontinuerlig om den inversa bilden av varje öppen mängd i Y är en öppen mängd i X. Det vill säga om f −1 : U → V , U ∈ TY och V ∈ TX. Denna definition är i vissa avseenden naturligare än ɛ − δ - definitionen som brukar användas i inledande analyskurser. Till exempel så blir det självklart att en funktion som är sammansatt av två kontinuerliga funktioner är kontinuerlig. Om f och g är kontinuerliga innebär det att inversa bilden av varje öppen mängd är en öppen mängd. Det måste då även gälla f ◦ g. Låt oss ta upp två definitioner av andra begrepp som vi kommer att behöva i följande kapitel. Definition 3.4 (Omgivning). Givet ett topologiskt rum (X, T ) så kallas N för en omgivning till punkten x ∈ X om N ⊂ X och ∃Ui ∈ T : x ∈ Ui ∧ Ui ⊂ N. Det skall alltså gå att hitta en delmängd av X som innehåller en öppen mängd, vilken i sin tur innehåller x. Definition 3.5 (Hausdorffrum). Ett topologiskt rum (X, T ) kallas för Hausdorffrum om det för varje två godtyckliga punkter x, x ′ ∈ X går att hitta omgivningar som inte överlappar. De flesta topologiska rum som betraktas längre fram är Hausdorffrum och topologiska rum måste vara Haussdorffrum för att gränsvärden skall vara entydigt definierade. 25
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerliga deformationerna som det talades om i inledningen till detta kapitel kallas homeomorfismer. Definition 3.6 (Homeomorfism). En homeomorfism är en injektiv (etttill-ett), surjektiv (på), kontinuerlig avbildning mellan två topologiska rum som har en kontinuerlig invers. Två topologiska rum säges vara homeomorfa om det finns en homeomorfism mellan dem. Notera att en homeomorfism är en ekvivalensrelation och inom topologin betraktar vi alltså alla topologiska rum som ekvivalenta om de är homeomorfa. Detta innebär i sin tur att vi betraktar två topologiska rum som ekvivalenta om det ena kan transformeras kontinuerligt till det andra. Det topologiska begreppet homeomorfism bör inte förväxlas med det algebraiska begreppet homomorfism. Ett enkelt exempel på en homeomorfism är homeomorfism mellan det öppna intervallet (0,1) och (0,10) i R med den vanliga topologin. Exempel 3.1. Låt (I1, T1) och (I2, T2) vara topologiska rum, där I1 = {x|x ∈ (0, 1)}, I2 = {x|x ∈ (0, 10)}, T1 och T2 är mängden av alla öppna intervaller i I1 respektive I2 och deras unioner. En homeomorfism ges av f : I1 → I2 med f(x) = 10x. Den avbildar I1 på hela I2, samtidigt som varje element i I1 avbildas på exakt ett element i I2. Dess invers, f −1 (x) = 1 10 x, är kontinuerlig. Detta betyder att I1 är homeomorft med I2. 3.1.3 Topologiska invarianter I inledningen till detta avsnitt nämndes olika egenskaper som är invarianta under homeomorfism, dessa benäms topologiska invarianter . Intressant är att topologiska invarianter kan vara en rad vida skilda egenskaper, till exempel komplicerade begrepp som kompakthet eller enkla tal som Eulerkarakteristiken. Det är svårt att visa att två topologiska rum är homeomorfa och ofta krävs det att man hittar en explicit homeomorfism, men för att visa att två topologiska rum inte är homeomorfa räcker det med att hitta en topologisk invariant rummen inte delar. Vi känner inte till alla topologiska invarianter vilket betyder att även om två topologiska rum har samma invarianter kan vi inte säga om de är homeomorfa. Vi kommer här att ta upp några topologiska invarianter som behövs för studiet av den matematik vi behandlar här. För att definiera det topologiska begreppet kompakthet, behöver vi först en del andra begrepp. Låt (X, T ) vara ett topologiskt rum. En mängd delmängder av X kallas för täcke av X om unionen av dessa delmängder täcker X. Om alla delmängderna i täcket tillhör topologin T , kallar vi täcket för ett öppet täcke. 26
Page 1 and 2: Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4: Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6: R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8: 4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10: B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27: den specifika topologin är underf
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92:
• exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94:
Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106:
Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108:
Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110:
6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?