Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

av O(n) samma som liealgebran av SO(n, R) och dimso(n) = dimo(n) =
.
n(n−1)
2
Exempel 5.9 (liealgebror av GL(n, C), SL(n, C) och U(n)). liealgebran
gl(n, C) är en mängd av n×n matriser med komplexa element och liealgebran
av sl(n, C) är en mängd av spårlösa matriser med dimsl(n, C) = 2(n2 − 1).
För att hitta u(n) upprepar approximationsmetoden och skriver c(s) =
In + sA + O(s2 ). Gruppen U(n) = M ∈ GL(n, C)|MM † = M † M = 1 innehåller
denna kurva endast om den uppfyller villkoret c(s) † c(s) = In, vilket
betyder att c ′
(s) † c(s) + c(s) † c ′
(s) = 0. Insättning av s = 0 i detta uttryck
ger igen A † = −A. Detta medför att u(n) är mängden av antisymmetriska,
Hermitska matriser med dimu(n) = n2 .
Vi har även att su(n) = u(n) ∩ sl(n) är mängden av Hermitska matriser
med dimsu(n) = n2 − 1.
5.5.2 Enparameter delgrupp
Exponentialfunktionen används på vitt skilda områden eftersom den har
många egenskaper som gör den lätt att arbeta med. Vi ska här se om vi
kan bygga upp en teori som låter oss hitta en generalisering av denna på
mångfalder.
Ett flöde i någon mångfald M genereras av vektorfält X ∈ X (M). Vi vill
undersöka hur flödet kan bildas av ett vänsterinvariant vektorfält. Tidigare
har vi definierat vänsterinvariant vektorfält som ett vektorfält Xg på en
Liegrupp G om villkoret
(5.189)
är uppfyllt.
La∗X |g = X| ag
Definition 5.17 (Enparameterdelgrupp). En enparameterdelgrupp är
en kurva φ : R → G som uppfyller villkoret
φ(t)φ(s) = φ(t + s). (5.190)
Hädanefter kommer vi enbart att ägna oss åt enparameterdelgrupper som
är differentierbara.
Det inses lätt att enparameterdelgruppen är kommutativ:
φ(t)φ(s) = φ(t + s) = φ(s + t) = φ(s)φ(t) (5.191)
Vidare observerar vi följande relationer
• a) φ(0) = e
• b) φ −1 (t) = φ(−t).
86