Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Antag att vi har en mångfald inbäddad i vårt vanliga rum R 3 . Då är<br />
ett visuellt sätt att konstruera de geodetiska linjerna att tänka sig att man<br />
håller en bit tejp ovan<strong>för</strong> två punkter på mångfalden, så spänd som möjligt<br />
(tejpen är alltså en rak sträcka mellan punkterna i R 3 ). Nu <strong>för</strong> vi bara ner<br />
tejpen på vår mångfald. Om tejpen krullar sig på någon sida betyder det<br />
att det inte är en geodetisk linje på mångfalden. Detta eftersom krullningen<br />
indikerar att kurvan är krökt <strong>och</strong> därmed att en tangentvektor inte kommer<br />
vara parallel med kurvan efter <strong>för</strong>flyttning längs kurvan.<br />
Exempel 7.2. På en sfär är storcirklarna de geodetiska linjerna.<br />
7.4 Torsionstensorn<br />
Vi kommer senare att behandla kurvatur av en mångfald, men i detta avsnitt<br />
ska vi titta kort på vridning. Det finns en användbar tensor som beskriver<br />
vridning vilken kallas torsiontensorn. Innan vi går in på torsionstensorn<br />
närmre behöver vi veta vad vi menar med vridning, <strong>och</strong> det är vi hur tangentvektorn<br />
till en kurva vrider sig då vi flyttar oss längs kurvan. Detta kan<br />
ses som hur mycket konnektionen vrider sig.<br />
Vi ger ett enkelt exempel <strong>för</strong> att <strong>för</strong>söka <strong>för</strong>stå vad torsionen egentligen<br />
avser: säg att du simmar en längd i en simbassäng. Då följer du en rak kurva<br />
mellan de båda ändarna på bassängen. Låt oss säga att du är tangentvektorn<br />
till kurvan som bildas av din rörelse. Låt oss även säga att du börjar simma<br />
crawl, men går över till ryggsim någon gång på vägen. Din riktning ändras<br />
aldrig, men du har vridigt dig. På precis samma sätt vill vi markera hur<br />
mycket tangentvektorn till en kurva vrider sig <strong>och</strong> vi ger där<strong>för</strong> följande<br />
definition:<br />
Definition 7.9. Torsionstensorn T(X,Y)<br />
T (X, Y ) ≡ ∇XY − ∇Y X − [X, Y ]<br />
Låt oss kontrollera att torsionen är en tensor. Sätt f ∈ F, då blir<br />
T (fX, Y ) = T (X, fY ) = fT (X, Y ) genom produktregeln. Alltså är T(X,Y)<br />
en tensor.<br />
Vi ser även att torsionstensorn är en (1, 2)-tensor genom resonemanget<br />
att torsionstensorn tar in två vektorer <strong>och</strong> ger ut en vektor som indikterar<br />
vridningen. Matematiskt syns det eftersom T (X, Y ) = X µ T ν T (eµ, eν) Vi<br />
behöver inte gå in djupare på torsionen eftersom vi oftast hanterar Levi-<br />
Civitakonnektionen vilken inte har någon torsion.<br />
115
Change language