Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Figur 4.4: Två cirklar på en cylinder är ekvivalenta eftersom de tillsammans<br />
innesluter ett område<br />
Vi har att H1 är kurvor som går runt cylindern. Men alla dessa kurvor är<br />
ekvivalenta med valfri kurva som går runt cylindern, eftersom två cirklar runt<br />
cylindern (som inte är samma cirkel) innesluter ett område runt cylindern.<br />
vi har nu kommit fram till att H1 ∼ = Z<br />
Exempel 4.5 (Beräkning av <strong>för</strong>sta homologigruppen av en linje). Ett avslutande<br />
exempel. Låt oss beräkna H1(K) av K = {p0, p1, (p0p1)}, alltså det<br />
simpliciella komplexet över en linje mellan två punkter. 10 .<br />
Vi har att kedjegrupperna är linjärkombinationer av simplex, alltså är<br />
C0 = {ap0 + bp1} <strong>och</strong> C1 = c(p0p1) där (a, b, c) ∈ Z 3 . (p0p1) är inte rand till<br />
något simplex i K, vilket betyder att B1(K) = {0}. Detta med<strong>för</strong> att den<br />
<strong>för</strong>sta homologigruppen <strong>för</strong> vår kropp är ekvivalent med <strong>för</strong>sta cykelgruppen<br />
<strong>för</strong> kroppen, H1(K) = Z1(K).<br />
Låt nu z vara ett element i Z1(K), dvs z = n(p0p1) <strong>för</strong> något heltal n.<br />
Då vi tar randen på z får vi ∂z = n{p1 − p0} = np1 − np0, men vi vet också<br />
att ∂z = 0. Alltså måste n vara noll, <strong>och</strong> vi får resultatet<br />
H1(K) = 0<br />
10 Vi följer resonemanget givet på s. 108 i [1]<br />
40