Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Bilaga B
Algebraiska objekt och
mängdlära
Det finns en hierarki av algebraiska objekt med allt mer struktur. Vi börjar
med begreppet binär relation på en mängd och definierar sedan i tur och
ordning delmängder av detta, för att till sist komma fram till objektet kropp
där de reella talen med de vanliga räkneoperationerna ingår.
B.1 Mängder och relationer
Det moderna mängdbegreppet utvecklades under en period från 1870-talet
fram till 1922 när ZFC-teorin fick sin nuvarande form. Målet var att finna
en fullständig axiomatisering av hela matematiken, som skulle grunda sig på
mängdläran. ZFC innehåller nio axiom och ett schema för hur de oändligt
många ytterligare axiomen ska se ut, och har varit tillräcklig för alla matematikens
behov fram till idag. Även om Kurt Gödel visade 1931 att en
fullständig axiomatisering av matematiken är omöjlig, så är ZFC en tillräckligt
god axiomatisering för all modern matematik. Vi kommer här nöja oss
med att diskutera mängdbegreppet.
En mängd är en samling av objekt, som själva kan vara mängder. En
mängd får dock inte innehålla sig själv (annars uppkommer Russells paradox).
Objekten i mängden kallas element. Elementen har ingen inbördes ordning,
och det får inte finnas några dubletter i mängden. Vi skriver mängder
på följande sätt:
M ={a, b, c} (B.1)
N ={a, b, d} (B.2)
Att elementet a tillhör M skrivs a ∈ M. Ett viktigt sätt att bilda nya
mängder är den Cartesiska mängdprodukten, mängden av ordnade par:
M × N = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d)} (B.3)
148