Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

S =
⎛
⎜
⎝
A 0 0 0
0 B 0 0
0 0 C 0
0 0 0 D
⎞
⎟
⎠
(7.8)
Där koefficienterna är godtyckliga funktioner av alla fyra variabler. Vi
kommer att studera denna allmänna metrik närmare i exempel 7.3.
7.1.2 Inbäddningar och inducerade metriker
En inbäddning av ett topologiskt objekt i ett rum är en representation av
objektet som bevarar dess struktur. Mer formellt är det en funktion f :
X → Y sådan att X är homomorfisk med f(X), där f(X) ges den relativa
topoplogin med avseende på Y . Exempelvis kan S 1 inbäddas i planet R 2 som
enhetscirkeln.
Vid inbäddningar av en mångfald M i en metrisk mångfald N av högre
dimension, där M är en delmångfald av N, inducerar metriken på N en
naturlig metrik på M. Låt f : M → N vara en inbäddning. Pullbacken f ∗
parar ihop de punkter i N som f avbildat M på med punkter i M. Om
vi har en metrik i N, kalla den gN, så kan vi låta delmångfalden M i viss
mening ärva metriken i N genom att definiera den inducerade, även kallad
naturliga, metriken gM = f ∗ gN. På komponentform har vi:
Exempel på inducerade metriker
∂f α
gMµν(x) = gNαβ(f(x))
∂x µ
∂f β
∂xν (7.9)
Exempel 7.1 (Inducerad metrik). Låt f −→ R 3 vara en inbäddning av en
torus på (R 3 , δ) definierad som
f : (θ, φ) ↦→ ((R + rcosθ)cosφ, (R + rcosθ)sinφ, rsinθ)
där R > 0. Visa att den inducerade metriken på T 2 är
g = r 2 dθ ⊗ dθ + (R + rcosθ) 2 dφ ⊗ dφ.
Vi börjar med att beräkna metrikens komponenter
där fθ = ∂f
∂θ
gθ,θ =< fθ, fθ >= r 2
gθ,φ = gφ,θ =< fθ, fφ >=< fφ, fθ >= 0
111