Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Vidare ger detta ˜X〈w, ˜ Y 〉 = ˜ X(wµ ˜ Y µ ) = ˜ X ν ∂(wµ ˜ Y µ ) ∂x ν = ˜ X ν Y ˜ µ ∂wµ = (∂wµ ∂xν ∂xν ˜ X ν ) ˜ Y ν = (5.75) eftersom alla partiella derivator av ˜ Y ν försvinner. Det kvarstår då termen 〈w, LX ˜ Y 〉 = { ˜ Y konstant} = 〈w, ˜ X[ ˜ Y ] − ˜ Y [ ˜ X]〉 = 〈w, ˜ X[ ˜ Y ]〉 − 〈w, ˜ Y [ ˜ X] (5.76) Nu skriver vi ˜ Y [ ˜ X] på indexform: ˜Y [ ˜ X] = [ ˜ Y µ ∂/∂x µ ][ ˜ X ν ∂/∂x ν ] = ˜ Y µ ∂ ˜ X ν Helt analogt får vi Vi har då att ˜X[ ˜ Y ] = ˜ X µ ∂ ˜ Y ν ˜X[ ˜ Y ] − ˜ Y [ ˜ X] = ˜ X µ ˜ Y ν ∂ 2 /∂x ν ∂x µ − Sammantaget har vi nu: 〈LXw, ˜ ∂wµ Y 〉 = = ∂w µ ∂xν ˜ X ν ∂x µ · ∂/∂xν + ˜ Y µ ˜ X ν ∂ 2 /∂x µ ∂x ν ∂x µ ∂/∂xν + ˜ X µ ˜ Y ν ∂ 2 /∂x ν ∂x µ = { ˜ Y konstant} = ∂x ν · ˜ X ν ˜Y µ + w µ ˜ Y µ ∂ ˜ X ν = ˜ X µ ˜ Y ν ∂ 2 /∂x ν ∂x µ (5.77) (5.78) ˜Y µ ∂ ˜ Xν ∂x µ · ∂/∂xν + ˜ Y µ X˜ ν 2 ν µ · ∂ /∂x ∂x = = − ˜ Y µ ∂ ˜ Xν ∂/∂xν ∂x µ ˜Y µ + 〈w, ˜ µ ∂xν Y 〉 = ∂x µ ∂wµ = ∂x µ ∂xν ˜ X ν + w µ ∂ ˜ Xν ∂x µ ˜Y µ (5.79) (5.80) Då LXw i skalärprodukten måste tillhöra dualrummet måste det gälla att LXw = ∂wµ ∂xν ˜ X ν + w µ ∂ ˜ Xν ∂x µ Vi kan skriva upp Jacobiidentiteten för Liederivator (5.81) [[X, Y ], Z] + [[Z, X], Y ] + [[Y, Z], X] = 0 (5.82) Jacobiidentiteten för Liederivator. Det finns 6 permutationer av X, Y och Z. Betrakta en godtycklig, exempelvis [X][Y ][Z]. Från [[X, Y ], Z] har vi [X][Y ][Z] och från [[Y, Z], X] har vi −[X][Y ][Z]. Några fler termer med denna permutation finns inte, vilket ger oss ett nollbidrag. På grund av total symmetri med avseende på alla permutationer av X, Y och Z måste alla termer försvinna. 61
5.3.2 Geometrisk tolkning av Liederivatan I en mångfald som är ett euklidiskt rum kan man flytta en vektor längs en godtycklig linje utan att vektorn förändras, vilket bland annat beror på att vi kan ha samma basvektorer, det vill säga samma koordinatsystem över hela rummet. Detta är något som vi sett ej fungerar för en generell mångfald. Vi är istället tvungna att arbeta med lokala koordinatsystem på varje karta (Ui, ϕi) vilket ju vidare betyder att basvektorernas riktning förändras från punkt till punkt på mångfalden. Det vi vill undersöka är något som är analogt med en förflyttning enligt ett paralellogram enligt den vanliga vektoralgebran. Om vi har två vektorfält definierade på M är det naturligt att röra sig utmed de linjer som integralkurvorna bildar, dvs utmed vektorfältets riktningar. Det gäller alltså att undersöka vad som händer i en motsvarighet till parallellogram då vi rör oss längs med dessa vektorfält. Vi utför en parallellförflyttning längs integralkurvorna: Vi börjar i en punkt 0 och jämför två vägar: först rör vi oss längs med vektorfältet ˜ X till punkten 1. Vägen som har förflyttats betecknar vi ɛ ˜ X. Nu förflyttas vi vidare till punkten 2 av vektorfältet ˜ Y och denna väg betecknar vi med δ ˜ Y . Nu gör vi hela förflyttningen fast i omvänd ordning: Först låter vi vektorfältet ˜ Y förflytta oss till en punkt 3 via vägen δ ′ ˜ Y för att sedan transporteras av ˜ X till 4 längs vägen ɛ ′ ˜ X. Som vi ser i figur 5.14 sluts inte detta ”parallellogram”. Detta beror, som tidigare nämnts, på att basvektorerna förändras då vi förflyttar oss på mångfalden. För att få lite enklare beteckningar på detta skriver vi en kort repetition av tidigare stycken: Vi har då i en omgivning till f : R n → R m , fdifferentierbar (5.83) f( + ɛ) f() + ɛDf() · (5.84) där Df() · är riktningsderivatan för = x 1 1 + ... + x n n och f() på komponentform: f ν () ≡ f 1 ()νf m () (5.85) Detta blir helt analogt på till exempel vektorfältet ˜ Y (0) längs vektorn ˜X(0) = ˜ X 1 1 + ... + ˜ X n n som alltså bestäms av ˜ X(). Vi har ˜Y (0 + ɛ ˜ X(0)) ˜ Y (0) + ɛD ˜ Y (0) · ˜ X(0) och helt analogt (5.86) ˜X(0 + δ ˜ Y (0)) ˜ X(0) + δD ˜ X(0) · ˜ Y (0) (5.87) 62
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63: Själva formen på liederivatan L
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?