Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Figur 5.6: Lokala koordinater. Observera att koordinataxlarna definieras av
att alla andra koordinater är konstanta. Detta generaliseras enkelt till högre
dimensionella mångfalder
Definition 5.4 (Tangentvektor). Nu definierar vi tangentvektorn X =
X µ ∂/∂x µ med basvektorerna {µ} ≡ {∂/∂x µ }. Ekvivalensrelationen mellan
två kurvor uttrycks nu som
i c1(0) = c2(0)
ii dxµ (c1(t))
dt
= dxµ (c2(t))
dt
för t = 0
Vi kan nu bilda tangentplanet för M i p vilket betecknas TpM. TpM
spänns av basvektorerna µ = ∂/∂x µ , se figur 5.6. En vektor i tangentplanet
skrivs som = v µ µ. Ovan har vi sett att
df(c(t))
|t=0 = X[f] (5.10)
dt
varav det framgår att en vektor är oberoende av ett visst koordinatsystem.
Har vi två överlappande koordinatsystem p ∈ Ui ∩ Uj ; x = ϕ1(p) och
y = ϕ2(p) ger två uttryck för :
Låt nu verka på y ν . Vi får
= X µ ∂/∂x µ = ˜ X µ ∂/∂y µ
(5.11)
µ ∂yν
X
∂x µ = ˜ X ν δ µ ν = ˜ X µ . (5.12)
48