Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Figur 5.11: Ett vektorfält som beskriver ett flöde på en karta U ∈ M. För varje givet begynnelsevärde fås en integralkurva vilken bestäms av vektorfältet. Notera att t = 0 avbildas på p. Figur 5.12: En infinitesimal tidsutveckling läng ˜ X Härledning av Liederivatan Liederivatan är en operation som anger hur en viss storhet, säg Q på en mångfald M varierar längs ett vektorfält ˜ X, dvs längs en integralkurva vilken är bestämd av vektorfältet. Man betecknar liederivatan med L ˜ X Q. Vi ska nu se hur L ˜ X Q ser ut då Q är ett annat vektorfält ˜ Y . En intressant egenskap som liederivatan L ˜ X ˜ Y har att denna i sin tur bildar ett nytt vektorfält. Det gäller att studera hur ett vektorfält ˜ Y förändras från en punkt p till en annan punkt p ′ då den färdas längs ett annat vektorfält ˜ X eller rättare sagt längs ˜ X:s flöde genom p till p ′ . Notera att vektorfälten alltid ligger i tangentplanet TpM för varje punkt. Vi inför koordinaterna p = (0). Då vi rör oss längs ˜ X, se figur 5.12, får 57
vi för en infinitesimal tidsutveckling t = ɛ p ′ = (ɛ) = (0) + ɛ ˜ X = ′ (5.52) Nu skall vi undersöka hur ˜ Y förändras från ˜ Y (p) till ˜ Y (p ′ ) längs ˜ X. Vi skall alltså bestämma ˜ Y () → ˜ Y ( + ɛ ˜ X) i p ′ . Observera att ˜ Y (p ′ ) blir uttryckt i Tp ′M. Eftersom ˜ Y är differentierbar kan vi approximera ˜ Y (+ɛ ˜ X) med ˜ Y () + ɛd ˜ Y · ˜ X där d ˜ Y · ˜ X betecknar riktningsderivatan av ˜ Y längs ˜ X. Mer precist blir detta uttryckt på komponentform ˜Y µ ( ′ ) = ˜ Y µ () + ɛ ˜ X ν · ∂ ˜ Y µ ∂xν (5.53) +ɛ ˜ X vilken då är µ-komponenten för µ ∈ Tp ′M. Ett problem vi har nu är att ˜Y (p ′ ) (i andra termen) är uttryckt i ett annat koordinatsystem än det vi hade i punkten p där ˜ Y (p) var uttryckt i basen som ligger i TpM. För att lösa detta skall vi använda en avbildning Tp ′M → TpM, där p ′ = +ɛ ˜ X = ′ . Vi skriver detta istället som = ′ −ɛ ˜ X där ′ är de ”gamla” koordinaterna och är de ”nya”. På komponentform har vi alltså avbildningen x µ → x µ − ɛ ˜ X µ i basen µ = ∂/∂x µ . Vi får sambandet ∂ ˜ Y ν ∂x µ +ɛ ˜ X ∂/∂x v = ∂(xν − ɛ ˜ Xν ) ∂x µ ∂/∂x ν = δ ν µ − ɛ ∂ ˜ X ν () ∂x µ Detta insättes nu i (5.53) vilket ger ˜Y µ () + ɛ ˜ X ρ () ∂ ˜ Y µ () ∂xρ ) δ ν µ − ɛ ∂ ˜ Xν () ∂x µ ∂/∂x ν Vi multiplicerar ihop termerna, noterar att ɛ ˜ Xρ ∂ ˜ Y µ ut ρ mot µ för att få på komponentform ˜Y µ + ɛ ˜X µ ∂ ˜ Y ν ∂x µ − ˜ Y µ ∂ ˜ Xν ∂x µ ∂x ρ δ ν µ = ɛ ˜ X ρ ∂ ˜ Y ν ∂/∂x ν . (5.54) (5.55) ∂x ρ och byter + O(ɛ 2 ) (5.56) Nu kan vi beräkna skillnaden mellan ˜ Y µ ( ′ ) och ˜ Y µ () för en infinitesimal förflyttning 1 ˜Y µ ′ ( ) − Y ˜ µ () = ɛ ˜ X µ ∂ ˜ Y ν ∂x µ − ˜ Y µ ∂ ˜ Xν ∂x µ + O(ɛ) (5.57) Om vi låter ɛ gå mot noll, så får vi exakt liederivatan, vilken skrivs där ∂µ ≡ ∂/∂x µ . L ˜ X ˜ Y = ( ˜ X µ ∂µ ˜ Y ν − ˜ Y µ ∂µ ˜ X ν )eν 58 (5.58)
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10: B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?