Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

kortfattad och delvis intuitiv beskrivning av hur det kan göras baserad på Weinberg [12], Hooft [14] och Islam [13]. För en utförligare härledning hänvisar vi läsaren till Weinberg [12]. Utgångspunkten är den mest allmänna formen för en metrik ds 2 = gµν(x 0 , x 1 , . . . , x n−1 )dx µ dx ν . (8.6) Koefficienterna gµν är alltså godtyckliga funktioner av alla koordinater. Vårt första krav är att universum skall ha fyra dimensioner, n = 4 och gµν = gµν(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ). Varav en tidslig dimension, med x 0 = t, och tre rumsliga. Symmetrikravet som leder härifrån till Robertson-Walker metriken brukar ibland kallas för den kosmologiska principen, vilken säger att universum är rumsligt homogent och isotropt. Denna princip uppfylls förvånansvärt bra i alla praktiska observationer av universum. Notera ordet “rumsligt” som innebär att vi inte ställer krav på att den tidslika delen är homogen och isotrop. Vi kräver allså en uppdelning av universum i en rumslig del som är homogen och isotrop och en tidslig som inte nödvändigtvis är det: ds 2 = f(x 0 )dx 0 dx 0 + hij(x 1 , x 2 , x 3 )dx i dx j , i = 1, 2, 3. (8.7) Den rumsliga delen dω 2 = hij(x 1 , x 2 , x 3 )dx i dx j skall alltså vara homogen och isotrop. Intuitivt så innebär homogenitet att universum är likadan vart vi än befinner oss, det vill säga att i det stora hela är massfördelningen densamma överallt. Isotropi innebär att universum ser likadant ut i alla riktningar. För att göra detta mer formellt använder vi oss av de Killing-vektorer som vi tog upp tidigare. Vi säger att en mångfald är homogen om det i varje punkt finns lösningar till Killingekvationen (7.31) som kan kan anta alla möjliga värden, givet metriken. Ett ekvivalent sätt att yttrycka detta på är att säga att det finns infinetesimala isometrier som kan translaterar varje punkt till varje punkt i dess omgivning. Jämför med ekvation (7.30) och (7.31) på sidan 126. Detta innebär att metriken måste tillåta killingvektorer Xν = gµνX µ som kan translatera varje punkt x µ till varje punkt x µ + εX µ utan att metriken ändras. Isotropi definieras på liknande sätt som att det i varje punkt finns lösningar till Killingekvationen som inte påverkar x µ men vars derivator ∆µXν kan anta alla möjliga värden. Utifrån dessa krav kan vi ta fram en metrik. Weinberg [12] visar att metriker som är isotropa i varje punkt nödvändigtvis är homogena, att de är maximalt symmetriska (det vill säga de tillåter 1 2m(m + 1) Killingvektorer) och att de unikt bestäms av den skalära kurvaturen R och signaturen (antalet positiva och negativa egenvärden av metriken). För vår rumslika del dω2 är alla egenvärden positiva. Det går nu att gissa sig fram till att en maximalt symmetrisk metrik måste ha formen dω 2 = −A 2 (t) dx i dx i + k(xidxi ) 2 1 − kxixi (8.8) 137
där k = −1, 0, 1 beroende på om den skalära kurvaturen är R < 0, R = 0 eller R > 0. A(t) är en godtycklig funktion. 2 Ett byte till sfäriska koordinater x 1 = r sin θ cos φ, x 2 = r sin θ sin φ och x 3 = r cos θ ger nu dω 2 = −A 2 dr 2 1 − kr 2 + r2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 (8.9) Vi kombinerar nu ihop detta med tidsdelen i ekvation (8.2) och ersätter dessutom f(x 0 )dx 0 dx 0 med dt 2 för att få standardformen på Robertson- Walker-metriken: 3 ds 2 = dt 2 − A 2 dr 2 1 − kr 2 + r2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 (8.10) Metriken som ges av denna ekvation beskriver alltså den fyrdimensionella, homogena och isotropa rumtiden som utgör en bra modell av vårt universum. Faktorn A(t) är en skalfaktorn som beskriver hur den rumsliga delen av universum ändras med tiden. För tydlighetens skull kan vi skriva ut komponenterna som elementen i en matris: ⎛ ⎞ 1 0 0 0 ⎜0 −A2 1 ⎟ (gµν) = ⎜ ⎝ 1−kr 2 0 0 0 0 −A 2 r 2 0 0 0 0 −A 2 r 2 sin 2 θ 8.3 Härledning av Friedmannekvationerna ⎟ ⎠ . (8.11) I föregående avsnitt har Einsteins fältekvation (8.1) inte använts en enda gång. Formen på metriken (8.10) är alltså bara ett resultat av kravet på isotropi och koordinatvalet. Skalfaktorn A = A(t) är dock fortfarande en helt okänd funktion. Denna funktion beskriver hur rummet ändras med tiden och för att bestämma den måste vi lösa Einsteins fältekvation för en rimlig form på energi-rörelsemängdstensorn Tµν. Kraven på isotropi och homogenitet bör rimligtvis även gälla för Tµν. Vart vi än befinner oss skall alltså energitätheten ε och trycket p vara densamma. Trycket måste också vara detsamma från alla riktningar för att kravet på isotropi skall vara uppfylld. Det går att visa att under dessa förutsättningar så måste Tµν ha samma form som energi-rörelsemängdstensorn för en perfekt gas: 4 ⎛ ⎞ ε 0 0 0 ⎜ (Tµν) = ⎜0 g11 p 0 0 ⎟ ⎝0 0 g22 p 0 ⎠ (8.12) 0 0 0 g33 p 2 I fortsättningen skriver vi bara A, t-beroendet är underförstått. 3 Detta motsvarar variabelbytet t = f(x 0 )dx 0 . 4 Se Weinberg [12] för en härledning. 138
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139: som är noll. Det är enkelt att se
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?